Rappel : On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points $A(-4;10),\, B(8;16) ,\, C(8;-2),\, H(2 ;10)$ et $K(5 ;7).$ (Voir figure ci-dessous)

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0$ et que $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$
2. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ? (à justifier)
3. Montrer que $K$ est le centre du cercle passant par les sommets du triangle $ABC$ .
4. On admet que $G$, le centre de gravité du triangle $ABC$, est le point qui vérifie $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ où $M$ est le milieu du segment $[BC]$.

   Déterminer les coordonnées de $G$.

5. Montrer que les points $G$, $H$ et $K$ sont alignés.

1. $\overrightarrow{AB}\vecCoord{8+4}{16-10}=\vecCoord{12}{6}$ et $\overrightarrow{HC}\vecCoord{6}{-12}$ ainsi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=12\times 6+6\times (-12)=0$
   De même $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=\vecCoord{12}{-12}.\vecCoord{6}{6}=12\times6-12\times6=0$
2. Ainsi $(HC)\perp (AB)$ donc $(HC)$ est la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$
   et $(HB)\perp (AC)$ donc $(HB)$ est la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$
   On en déduit que $H$ est le point d'intersection des hauteurs de $ABC$ c'est donc l'orthocentre de ce triangle.
3. $KA^2=(5+4)^2+(7-10)^2=90$ ; $KB^2=(5-8)^2+(7-16)^2=90$ et $KC^2=(5-8)^2+(7+2)^2=90$ donc $KA=KB=KC$ donc $K$ est le centre du cercle cinconscrit au triangle $ABC$
4. Soit $G\vecCoord{x_G}{y_G}$. On sait que $M\left(\dfrac{8+8}{2};\frac{16-2}{2}\right)$ donc $M(8;7)$. Ainsi l'égalité $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ peut s'écrire $\vecCoord{x_G+4}{y_G-10}=\dfrac{2}{3}\vecCoord{8+4}{7-10}$ donc $\left\{ \[\begin{array}{l} x_G+4=8 \\ y_G-10=-2& \end{array}\] \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \[\begin{array}{l} x_G=4 \\ y_G=8& \end{array}\] \right.$
   Donc $G\left(4;8\right)$
5. $\overrightarrow{KH}\vecCoord{-3}{3}$ et $\overrightarrow{KG}\vecCoord{-1}{1}$ donc $\det\left(\overrightarrow{KH},\overrightarrow{KG}\right)=-3\times1-3\times(-1)=0$. Ainsi, $\overrightarrow{KH}$ et $\overrightarrow{KG}$ sont colinéaires donc les points $G$, $H$ et $K$ sont alignés.