$OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs 3 et 2. $OAMF$ est un rectangle. On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.

Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)$

1. La droite $(OM)$ est-elle perpendiculaire à la droite $(DC)$ ?
2. Calculer $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}$
3. Déterminer la longueur $CH$

Dans le repère proposé par l'énoncé on peut facilement déterminer les coordonnées suivantes : $O(0;0)$, $A(3;0)$, $B(3;3)$, $C(0;3)$, $D(-2;0)$, $E(-2;-2)$, $F(0;-2)$ et $M(3;-2)$

1. $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{DC}=\vecCoord{3}{-2}.\vecCoord{2}{3}=3\times2+(-2)\times3=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont orthogonaux donc $(OM)\perp (DC)$
2. $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\vecCoord{-2}{-3}.\vecCoord{3}{-5}=-6+15=9$
3. Or $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CH}=CD\times CH$ et $CD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Ainsi $CD\times CH = 9 \Leftrightarrow CH = \dfrac{9}{\sqrt{13}}$