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Le 1er janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à 650 euros le mont...

corrigé

Énoncé

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Le 1er janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à 650 euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1er janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$ le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1er janvier de l’année $(2019+n)$ pour $n$ entier naturel. Ainsi  $u_0=650$ euros.

\begin{enumerate}
    \item 	\begin{enumerate}
        \item Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1er janvier 2020.
        \item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
        \item Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l'année 2027.
    \end{enumerate}
    \item Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les $2019$ à $2019+A$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
    \begin{center}
        \includegraphics[]{DM/21-22/DM2_img1.png}\\
        L'exécution de ce programme pour quelques valeurs de $A$ donne les résultats ci-dessous :\\
        \includegraphics[]{DM/21-22/DM2_img2.png}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'exécution de l'instruction \texttt{somme(1)}.
        \item Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
    \end{enumerate}

\end{enumerate}

Le 1er janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à 650 euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1er janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$ le loyer mensuel. On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1er janvier de l’année $(2019+n)$ pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0=650$ euros.

Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les $2019$ à $2019+A$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
[ Image : DM/21-22/DM2_img1.png ]

L'exécution de ce programme pour quelques valeurs de $A$ donne les résultats ci-dessous :

[ Image : DM/21-22/DM2_img2.png ]

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        $\npdecimalsign{,}$
        \begin{enumerate}
        \item \begin{enumerate}
                \item Le taux d'évolution annuel est $t=1,52\%=0,0152$ donc le coefficient multiplicateur annuel est $CM=1+t=1+0,0152=1,0152$. Ainsi le montant du loyer fixé le 1er janvier 2020 est $u_1=CM\times u_0=1,0152\times 650=658,88€$.
                \item D'une année à la suivante le taux d'augmentation est toujours le même ($t=0,0152$) donc le loyer d'une année est égal au produit du loyer de l'année précédente par le $CM=1,0152$. Ainsi la suite $u$ est géométrique de raison $q=1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
                \item $u$ étant géométrique, nous savons que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n=u_0q^n=650\times 1,0152^n$. L'année 2027 étant l'année de rang $n=8$ (car $2027 = 2019+8$), le montant du loyer fixé pour cette année là sera $u_8=650\times 1,0152^8=733,38$€.
            \end{enumerate}
        \item Remarque préalable sur cette question : Pour bien comprendre cette question il faut constater deux points :
        \begin{itemize}
            \item Le montant total des loyers la première année vaut : $650\times 12 = \np{7800}$€
            \item Si le loyer fixé au premier janvier augmente de $1,52\%$ chaque année, l'augmentation du total des loyers de l'année est la même.
        \end{itemize}
        
        \begin{enumerate}
            \item \texttt{somme(1)} renvoie la somme totale des loyers perçus par le propriétaire entre les années $2019$ et $2019+1=2020$ incluses. Ainsi le propriétaire a perçu au total $\np{15718,56}$€ sur les deux années $2019$ et $2020$
            \item \texttt{somme(8)} est la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2027 incluses.\\
            \texttt{somme(2)} est  la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2021 incluses.\\
            Donc la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses est $\mathtt{somme(8)} - \mathtt{somme(2)}=\np{74623,041809}-\np{23757,482112}\approx \np{50866}$€
        \end{enumerate}
            
        \end{enumerate}
        
        
        \end{varwidth}

$\npdecimalsign{,}$

Remarque préalable sur cette question : Pour bien comprendre cette question il faut constater deux points :

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2021-2022	`DM\21-22\21-22-1spe-DM2.tex`	10 pts