Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l'entreprise est modélisé par la fonction

\[C(x)= 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750\]

où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre 0 et 10.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l'entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

1. Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de 3 kilomètres de tissu ?
2. Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
3. Donner une expression de $B'(x)$, où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
4. Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0~;~10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
5. Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?

$\npdecimalsign{,}$

1. La vente de $3$ km de tissu rapporte $3\times680=\np{2040}$ euros et coûte $C(3)=15\times3^3-120\times3^2+500\times3+750=1575$ euros. Ainsi le résultat de l'entreprise pour la vente de $3$ km de tissu est $B(3)=2040-1575=465$
2. Chaque kilomètre de tissu étant vendu $680$ euros, la recette correspondant à la vente de $x$ km de tissu est : $680x$ ainsi le résultat est $B(x)=680x-C(x)=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right)=680x-15x^3+120x^2-500x-750=-15x^3+120x^2+180x-750$
3. $B'(x)=-45x^2+240x+180$
4. $B'(x)$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-45$ ; $b=240$ et $c=180$ donc $\Delta=b^2-4ac=240^2-4\times(-45)\times180=\np{90000}>0$. Donc $B'(x)$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$ à l'extérieur desquelles elle est du signe de $a=-45<0$.

   $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-240-\sqrt{90000}}{-90}=6\in [0;10]$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-240+\sqrt{90000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}\notin [0;10]$ On obtient alors :

   $

   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
   $
5. D'après le tableau de variation, l'entreprise doit produire et vendre $6$ km de tissu pour obtenir un résultat maximal.