La fonction $f$ est définie sur $]-1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) =\dfrac{ x^2 + 1}{x + 1}\]

On se place dans un repère orthonormé du plan.

1. Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]-1~;~ +\infty[$: \[f'(x) =\dfrac{x^2 + 2x - 1}{(x + 1)^2}\]
2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
4. Étudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d'équation $y = x$.

Correction

1. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u=x^2+1}{v=x+1}$ donc $\sys{u'=2x}{v'=1}$ ainsi pour tout $x\in]-1~;~+\infty[$ : $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{2x(x+1)-(x^2+1)\times 1}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$
2. Le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2+2x-1$ car $(x+1)^2>0$ sur $]-1~;~+\infty[$. Or $\Delta=2^2-4\times1\times(-1)=8>0$ donc $x^2+2x-1$ admet deux racines distinctes
   $x_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=-1+\sqrt{2}$
   Comme $a=1>0$, $x^2+2x-1$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. Seule $x_2=-1+\sqrt{2}\approx 0,41$ appartient à $]-1~;~+\infty[$. D'où le tableau de variations de $f$ :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   Ainsi $f$ est décroissante sur $]-1~;~-1+\sqrt{2}]$ puis croissante sur $[-1+\sqrt{2}~;~+\infty[$.

3. Une équation de la tangente $T$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=\dfrac{0+1}{0+1}=1$ et $f'(0)=\dfrac{0+0-1}{(0+1)^2}=-1$ donc $T : y=-x+1$.
4. Il s'agit d'étudier le signe de $f(x)-x$ pour $x\in]-1~;~+\infty[$ : $f(x)-x=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x=\dfrac{x^2+1-x(x+1)}{x+1}=\dfrac{x^2+1-x^2-x}{x+1}=\dfrac{1-x}{x+1}$ Sur $]-1~;~+\infty[$, $x+1>0$ donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$. Ainsi :