EX_0172 – Soit $f$ la fonction définie sur par...

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\left(\sin(x)\right)^2$.

A l'aide de la calculatrice, conjecturer une propriété de parité et de périodicité de la fonction $f$.
Démontrer les deux conjectures émises à la question précédente.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Grâce à la calculatrice, on peut tracer la courbe représentative de la fonction $f$ :
            % \vspace{0.5cm}
            
            % \hspace{-\parindent}%
            \begin{pspicture*}(-5,-1)(9.5,2)
                \psset{xunit=0.9 cm, yunit = 1.5 cm}
                \psaxes[trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\pstPI2,xunit=\psPi,xsubticks = 2, Dy=1]{->}(0,0)(-1.6,-0.8)(1.6,1.5)
                \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-4.7124}{4.7124}{x RadtoDeg sin 2 exp}
            \end{pspicture*}
            
            On \emph{observe} une symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées on peut donc \emph{conjecturer} que la fonction $f$ est paire.
            
            De plus, on \emph{observe} que la courbe se répète sur les intervalles de longueur $\pi$ donc on \emph{conjecture} que $f$ est périodique de période $\pi$.
            \item Pour tout $x\in\R$  :
                \begin{itemize}
                    \item $f(-x)=\left(\sin(-x)\right)^2$ or nous savons que la fonction sinus est impaire donc que $\sin(-x)=-\sin(x)$ ainsi $f(-x)=\left(-\sin(x)\right)^2=\left(\sin(x)\right)^2=f(x)$ donc $f$ est une fonction paire.
                    \item $f(x+\pi)=\left(\sin(x+\pi)\right)^2$ or nous savons que $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ (Si on ne le sait pas par coeur, on peut le retrouver sur un cercle trigonométrique) donc $f(x+\pi)=\left(-\sin(x)\right)^2=\left(\sin(x)\right)^2=f(x)$ donc $f$ est périodique de période $\pi$.
                \end{itemize}
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

Grâce à la calculatrice, on peut tracer la courbe représentative de la fonction $f$ :
(-5,-1)(9.5,2) \psset{xunit=0.9 cm, yunit = 1.5 cm} \psaxes[trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\pstPI2,xunit=\psPi,xsubticks = 2, Dy=1]{->}(0,0)(-1.6,-0.8)(1.6,1.5) \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-4.7124}{4.7124}{x RadtoDeg sin 2 exp}

On observe une symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées on peut donc conjecturer que la fonction $f$ est paire.

De plus, on observe que la courbe se répète sur les intervalles de longueur $\pi$ donc on conjecture que $f$ est périodique de période $\pi$.
Pour tout $x\in\R$ :