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Une chaîne de salons de coiffure propose à ses clients qui viennent pour une cou...
corrigé

Énoncé

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses clients qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».
Il apparaît que 40 \% des clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », 30 \% des clients demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, 24 \% des clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».

On interroge un client au hasard.

On notera $C$ l’évènement « Le client souhaite une "couleur-soin." ».

On notera $E$ l’évènement « Le client souhaite un "effet coup de soleil." ».

  1. Donner les valeurs de $P(C)$, $P( C\cap E)$ et $P_{\overline{C}}(E)$.
  2. Calculer la probabilité que le client ne souhaite ni une « couleur-soin », ni un « effet coup de soleil ».
  3. Montrer que la probabilité de l’évènement $E$ est égale à $0,42$.
  4. Les évènements $C$ et $E$ sont-ils indépendants ?

Correction

Correction

  1. D'après l'énoncé : $P(C)=0,4$, $P(C\cap E)=0,24$ et $P_{\overline{C}}(E)=0,3$.
  2. L'événement « le client ne souhaite ni couleur-soin ni effet coup de soleil » est $\overline{C}\cap\overline{E}$. Or $P_{\overline{C}}(\overline{E})=1-P_{\overline{C}}(E)=1-0,3=0,7$ et $P(\overline{C})=1-P(C)=1-0,4=0,6$. Ainsi : $P(\overline{C}\cap\overline{E})=P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(\overline{E})=0,6\times 0,7=0,42$ La probabilité que le client ne souhaite ni couleur-soin ni effet coup de soleil est $0,42$.
  3. $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : $P(E)=P(C\cap E)+P(\overline{C}\cap E)=P(C\cap E)+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(E)=0,24+0,6\times 0,3=0,24+0,18=0,42$
  4. Les événements $C$ et $E$ sont indépendants si et seulement si $P(C\cap E)=P(C)\times P(E)$. Or $P(C)\times P(E)=0,4\times 0,42=0,168$ et $P(C\cap E)=0,24$. Comme $0,168\neq 0,24$, les événements $C$ et $E$ ne sont pas indépendants.