EX_0175 – Déterminer l'expression de $h(x)$

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Déterminer l'expression de $h(x)$

corrigé

Énoncé

Soit $h$ une fonction polynôme du second degré telle que :
Déterminer l'expression de $h(x)$. \ifthenelse{\boolean{isProfVersion}}{}{\newpage}
Majda a saisi l’expression des fonctions $f$ et $g$ sur sa calculatrice et a obtenu les écrans suivants.

[ Image : DS/DS3-NumW1.png ]

[ Image : DS/DS3-NumW2.png ]

Déterminer l’ordonnée des deux points d’intersection des courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item \begin{itemize}
            \item Nous pouvons déjà déterminer en partie la forme factorisée de $h(x)$ : $h(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+3)$
            \item De plus, nous savons que dans la forme canonique $h(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, $(\alpha,\beta)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole représentant $h$. On en déduit que $\beta$ est le minimum de $h$. Il faut donc trouver la forme canonique de $h(x)$.
            
            $\begin{WithArrows}
                f(x)    & = a\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+3)  \Arrow[xoffset=-0.6cm]{Simple développement}\\
                        & = a\left(x^2+\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}\right) \Arrow{Pour faire apparaître l'identité remarquable $a^2+2ab+b^2$} \\
                        & = a\left(x^2+2\times\dfrac{7}{4}x+\dfrac{3}{2}\right) \Arrow{On factorise partiellement }\\
                        & =  a\left[\left(x+\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{49}{16}+\dfrac{3}{2}\right] \Arrow{On distribue le $a$}\\
                        & =  a\left(x+\dfrac{7}{4}\right)^2-\dfrac{25}{16}a\\
            \end{WithArrows}$
            
            On en déduit que $\beta=-\dfrac{25}{16}a$ c'est-à-dire que $-\dfrac{25}{16}a=-\dfrac{25}{8}$ ainsi $a=\dfrac{25}{8}\times\dfrac{16}{25}=2$. Ainsi $h(x)=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+3)$
            
        \end{itemize}
        \item On commence par chercher l'abscisse des point d'intersection en résolvant l'équation :
        \begin{flalign*}
                                f(x) &= g(x) &\\
            \Leftrightarrow x^2+2x-7 &= -x^2+3x-1 &\\
            \Leftrightarrow 2x^2-x-6 &= 0 &\\
        \end{flalign*}
        
        On reconnaît une équation du second degré dont on peut calculer le discriminant : \\
        $\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4\times 2\times (-6)=49 >0$.\\
        Cette équation admet donc deux solutions distinctes :
        \begin{flalign*}
            x_1 &=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\text{et} & &  x_2  &=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&\\
                &=\dfrac{1-\sqrt{49}}{4}       &\text{et} & &       &=\dfrac{1+\sqrt{49}}{4}&\\
                &=\dfrac{-6}{4}                &\text{et} & &       &=\dfrac{8}{4}&\\
                &=-\dfrac{3}{2}                &\text{et} & &       &=2&\\
        \end{flalign*}
        Il reste alors à calculer les images de $x_1$ et $x_2$ par $f$ (ou par $g$, les résultats seront les mêmes) pour trouver les ordonnées recherchées.
        
        $f(x_1)=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+2\left(-\dfrac{3}{2}\right)-7 = -\dfrac{31}{4}$ et 
        
        $f(x_2)=\left(2\right)^2+2\left(2\right)-7 = 1$
        
        Les points d'intersections ont donc comme coordonnées $\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{31}{4}\right)$ et $\left(2;1\right)$
    \end{enumerate}
    
    \end{varwidth}

Correction

On commence par chercher l'abscisse des point d'intersection en résolvant l'équation : \[\begin{aligned} f(x) &= g(x)\\ \Leftrightarrow x^2+2x-7 &= -x^2+3x-1\\ \Leftrightarrow 2x^2-x-6 &= 0\\ \end{aligned}\]
On reconnaît une équation du second degré dont on peut calculer le discriminant :
$\Delta = b^2-4ac=(-1)^2-4\times 2\times (-6)=49 >0$.
Cette équation admet donc deux solutions distinctes : \[\begin{aligned} x_1 &=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} &\text{et} & & x_2 &=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\=\dfrac{1-\sqrt{49}}{4} &\text{et} & & &=\dfrac{1+\sqrt{49}}{4}\\=\dfrac{-6}{4} &\text{et} & & &=\dfrac{8}{4}\\=-\dfrac{3}{2} &\text{et} & & &=2\\ \end{aligned}\] Il reste alors à calculer les images de $x_1$ et $x_2$ par $f$ (ou par $g$, les résultats seront les mêmes) pour trouver les ordonnées recherchées.

$f(x_1)=\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+2\left(-\dfrac{3}{2}\right)-7 = -\dfrac{31}{4}$ et

$f(x_2)=\left(2\right)^2+2\left(2\right)-7 = 1$

Les points d'intersections ont donc comme coordonnées $\left(-\dfrac{3}{2};-\dfrac{31}{4}\right)$ et $\left(2;1\right)$

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2020-2021	`DS\20-21\20-21-1spe-DS3.tex`	4 pts