Soit $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin{(a)}=\dfrac{4}{5}$. Calculer la valeur exacte de $\cos{(a)}$.

Correction

On sait que : \[\begin{aligned}\left(\cos(a)\right)^2+\left(\sin(a)\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\dfrac{16}{25}=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=1-\dfrac{16}{25}\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=\dfrac{9}{25}\\ \end{aligned}\] On en déduit que : \[\begin{aligned}\cos(a)=\sqrt{\dfrac{9}{25}}\text{ ou }\cos(a)=-\sqrt{\dfrac{9}{25}}\\ \Leftrightarrow &\cos(a)=\dfrac{3}{5}\text{ ou }\cos(a)=-\dfrac{3}{5}\\ \end{aligned}\] Or nous savons que $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ donc $\cos(a)<0 $ donc $\cos(a)\neq\dfrac{3}{5}$ on en déduit que $\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$.