EX_0179 – Soit $f$ la fonction définie sur par...

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=3x^2-5x+2$.

Dresser le tableau de signes de $f$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item 
                \begin{flalign*}
                    \tau_4(h)   &= \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} &\\
                                &= \dfrac{3(4+h)^2-5(4+h)+2-(3\times 4^2-5\times 4+2)}{h} &\\
                                &= \dfrac{3(4^2+8h+h^2)-20-5h+2-30}{h} &\\
                                &= \dfrac{48+24h+3h^2-48-5h}{h} &\\
                                &= \dfrac{19h+3h^2}{h} &\\
                                &= \dfrac{h(19+3h)}{h} &\\
                                &= 19+3h
                \end{flalign*}
                On constate que $\tau_4(h)$ se rapproche de $19$ lorsque $h$ se rapproche de $0$. Ainsi la fonction $f$ est dérivable en $4$ et on a : $\displaystyle f'(4)= \lim_{h\rightarrow 0}\tau_4(h)=19$
                \item Nous savons que $\left(T_4\right):y=f'(4)(x-4)+f(4)$. Or $f'(4)=19$ et $f(4)=3\times 4^2-5\times 4+2=30$ donc $\left(T_4\right):y=19(x-4)+30$ soit encore $\left(T_4\right):y=19x-46$
            \end{enumerate}
            \item $\Delta = b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 2=1 >0$ donc le polynôme admet deux racines distinctes.\\
        $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{6}=1$ et \\
        $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{6}=\dfrac{2}{3}$\\
        Nous savons que le polynôme est du signe de $a=3>0$ à l'extérieur de ses racines, ainsi~:\\
        $\begin{tablvar}[0.1\textwidth]{3}
            \hline
            x & -\infty && \dfrac{2}{3} &&  1 && +\infty \\
            \hline
            \mbox{Signe de }3x^2-5x+2 & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & + & \\
            \hline
        \end{tablvar}$
        \end{enumerate}
        
        \end{varwidth}

Correction

$\Delta = b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 2=1 >0$ donc le polynôme admet deux racines distinctes.
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{6}=1$ et
$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{6}=\dfrac{2}{3}$
Nous savons que le polynôme est du signe de $a=3>0$ à l'extérieur de ses racines, ainsi :
$
[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
$