EX_0180 – On considère la figure ci-dessous

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On considère la figure ci-dessous

corrigé

Énoncé

On considère la figure ci-dessous.
    
    \begin{center}
    \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
        \begin{pspicture*}(-3.5,-3.1)(4.5,4.5)
            \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-3pt, linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.1)(4.5,4.5)
            \psline[linewidth=1.pt](0.,3.)(3.,3.)
            \psline[linewidth=1.pt](3.,0.)(3.,3.)
            \psline[linewidth=1.pt](3.,0.)(0.,0.)
            \psline[linewidth=1.pt](0.,3.)(0.,0.)
            \psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(-2.,0.)
            \psline[linewidth=1.pt](-2.,0.)(-2.,-2.)
            \psline[linewidth=1.pt](-2.,-2.)(0.,-2.)
            \psline[linewidth=1.pt](0.,-2.)(0.,0.)
            \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 2pt](3.,0.)(3.,-2.)
            \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 2pt](3.,-2.)(0.,-2.)
            \psplot[linewidth=0.8pt]{-3.5}{4.5}{(--6.--3.*x)/2.}
            \psplot[linewidth=0.8pt]{-3.5}{4.5}{(-0.--2.*x)/-3.}
            
            \rput[bl](3.1,0.1){$A$}
            \rput[bl](3.1,3.03){$B$}
            \rput[bl](-0.4,3.03){$C$}
            \rput[bl](-2.4,0.1){$D$}
            \rput[bl](-2.4,-2.4){$E$}
            \rput[bl](0.05,-2.4){$F$}
            \rput[bl](3.1,-2){$M$}
            \rput[bl](0.05,0.1){$O$}
        \end{pspicture*}
    \end{center}
    
    $OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs $3$ et $2$. $OAMF$ est un rectangle.

On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.
    
    Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)$
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer par un calcul que les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
        \item Calculer $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}$
        \item En déduire la valeur exacte de la longueur $CH$.
    \end{enumerate}

On considère la figure ci-dessous.

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,linewidth=1.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} (-3.5,-3.1)(4.5,4.5) \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-3pt, linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.1)(4.5,4.5) \psline[linewidth=1.pt](0.,3.)(3.,3.) \psline[linewidth=1.pt](3.,0.)(3.,3.) \psline[linewidth=1.pt](3.,0.)(0.,0.) \psline[linewidth=1.pt](0.,3.)(0.,0.) \psline[linewidth=1.pt](0.,0.)(-2.,0.) \psline[linewidth=1.pt](-2.,0.)(-2.,-2.) \psline[linewidth=1.pt](-2.,-2.)(0.,-2.) \psline[linewidth=1.pt](0.,-2.)(0.,0.) \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 2pt](3.,0.)(3.,-2.) \psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,dash=1pt 2pt](3.,-2.)(0.,-2.) \psplot[linewidth=0.8pt]{-3.5}{4.5}{(–6.–3.*x)/2.} \psplot[linewidth=0.8pt]{-3.5}{4.5}{(-0.–2.*x)/-3.}

\rput[bl](3.1,0.1){$A$} \rput[bl](3.1,3.03){$B$} \rput[bl](-0.4,3.03){$C$} \rput[bl](-2.4,0.1){$D$} \rput[bl](-2.4,-2.4){$E$} \rput[bl](0.05,-2.4){$F$} \rput[bl](3.1,-2){$M$} \rput[bl](0.05,0.1){$O$}

$OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs $3$ et $2$. $OAMF$ est un rectangle.

On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.

Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)$

Démontrer par un calcul que les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
Calculer $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}$
En déduire la valeur exacte de la longueur $CH$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)$ on connaît les coordonnées des points $O\vcoord{0}{0}$, $M\vcoord{3}{-2}$, $C\vcoord{0}{3}$ et $D\vcoord{-2}{0}$. Ainsi $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{DC}=\vcoord{3}{-2}.\vcoord{2}{3}=3\times2+(-2)\times3 = 0$. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont orthogonaux donc que les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires. On en déduit que $H$ est le point d'intersection de ces deux droites.
            \item $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\vcoord{-2}{-3}.\vcoord{3}{-5}=(-2)\times3+(-3)\times(-5)=9$
            \item Or, $H$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$, nous savons que $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CH}=CD\times CH$.
            
            De plus, $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM} = 9$ et $CD = \norme{\overrightarrow{CD}}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Ainsi :
            
            $CH = \dfrac{\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}}{CD}=\dfrac{9}{\sqrt{13}}=\dfrac{9\sqrt{13}}{13}$
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

Dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA},\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\right)$ on connaît les coordonnées des points $O\vcoord{0}{0}$, $M\vcoord{3}{-2}$, $C\vcoord{0}{3}$ et $D\vcoord{-2}{0}$. Ainsi $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{DC}=\vcoord{3}{-2}.\vcoord{2}{3}=3\times2+(-2)\times3 = 0$. On en déduit que les vecteurs $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont orthogonaux donc que les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires. On en déduit que $H$ est le point d'intersection de ces deux droites.
$\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\vcoord{-2}{-3}.\vcoord{3}{-5}=(-2)\times3+(-3)\times(-5)=9$
Or, $H$ étant le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$, nous savons que $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CH}=CD\times CH$.
De plus, $\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM} = 9$ et $CD = \norme{\overrightarrow{CD}}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$. Ainsi :

$CH = \dfrac{\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CM}}{CD}=\dfrac{9}{\sqrt{13}}=\dfrac{9\sqrt{13}}{13}$

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2020-2021	`DS\20-21\20-21-1spe-DS4.tex`	7 pts