EX_0185 – On considère les fonctions $f$ et...

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=x^3-x$ et $g(x)=-x^2+3x-4$ et dérivables sur $\R$.

On note leur courbe représentative $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. Soit $d$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ en $0$.

Calculer $f'(0)$
Déterminer l’équation réduite de la droite $d$.
Soit $A$ le point d'intersection de $\mathscr{C}_g$ et de $d$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item $f(x)=x^3-x$ donc $f'(x)=3x^2-1$ et $f'(0)=3\times 0^2-1=-1$.
        \item Une équation de la tangente $d$ à $\mathscr{C}_f$ en $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=0^3-0=0$ et $f'(0)=-1$ donc $d : y=-x$.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item $A$ est le point d'intersection de $\mathscr{C}_g$ et de $d$. Son abscisse vérifie $g(x)=-x$, soit :
            $-x^2+3x-4=-x \Leftrightarrow -x^2+4x-4=0 \Leftrightarrow x^2-4x+4=0 \Leftrightarrow (x-2)^2=0$
            D'où $x=2$ et $y=-2$. Ainsi $A(2~;~-2)$.
            \item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=-2x+3$ donc $g'(2)=-2\times 2+3=-1$. Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_g$ en $A$ vaut donc $-1$, ce qui est aussi le coefficient directeur de $d$. De plus, $A$ appartient à $d$ (puisque c'est leur point d'intersection). On en déduit que $d$ est la tangente à $\mathscr{C}_g$ en $A$.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

$f(x)=x^3-x$ donc $f'(x)=3x^2-1$ et $f'(0)=3\times 0^2-1=-1$.
Une équation de la tangente $d$ à $\mathscr{C}_f$ en $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Or $f(0)=0^3-0=0$ et $f'(0)=-1$ donc $d : y=-x$.