EX_0187 – Une entreprise produit de la pâte à papier

Énoncé

Une entreprise produit de la pâte à papier. On note $q$ la masse, en tonne, de pâte produite, avec $q\in[0;60]$.
Le coût total de production, en euro, pour une quantité $q$ produite est : \[C(q)=q^2+632q+\np{1075}\] L'entreprise vend toujours la totalité de sa production $700$€ par tonne produite.

Donner la recette correspondant à la vente de $q$ tonnes de pâte à papier pour $q\in[0;60]$
Soit $B(q)$ le bénéfice $B(q)$ réalisé p r la production et la vente de $q$ tonnes de pâte à papier pour $q\in[0;60]$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item Chaque tonne étant vendue $700$€, la recette pour $q$ tonnes vendues est $R(q)=700q$.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût total : pour tout $q\in[0~;~60]$,
            $B(q)=R(q)-C(q)=700q-(q^2+632q+\np{1075})=-q^2+(700-632)q-\np{1075}=-q^2+68q-\np{1075}$
            \item L'entreprise est rentable lorsque $B(q)\geq 0$. Il s'agit d'étudier le signe de $-q^2+68q-\np{1075}$.\\
            $\Delta=b^2-4ac=68^2-4\times(-1)\times(-\np{1075})=4624-4300=324>0$ donc $B$ admet deux racines distinctes :\\
            $q_1=\dfrac{-68+\sqrt{324}}{-2}=\dfrac{-68+18}{-2}=25$ et $q_2=\dfrac{-68-\sqrt{324}}{-2}=\dfrac{-68-18}{-2}=43$\\
            Comme $a=-1<0$, $B(q)$ est positif entre les racines et négatif à l'extérieur. Ainsi $B(q)\geq 0$ pour $q\in[25~;~43]$. L'entreprise est rentable lorsqu'elle produit entre $25$ et $43$ tonnes de pâte à papier.
            \item $B$ est une fonction polynôme du second degré de coefficient $a=-1<0$, son maximum est donc atteint au sommet de la parabole, en $q=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{68}{-2}=34$. On a $B(34)=-34^2+68\times 34-\np{1075}=-1156+2312-\np{1075}=81$.\\
            Pour un bénéfice maximal, l'entreprise doit produire $34$ tonnes de pâte à papier ; le bénéfice est alors de $81$€.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Chaque tonne étant vendue $700$€, la recette pour $q$ tonnes vendues est $R(q)=700q$.