Soit $a$ un réel de $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ tel que $\sin{(a)}=\dfrac{\sqrt{33}}{7}$.

Démontrer que $\cos{(a)}=-\dfrac{4}{7}$.

Correction

On sait que : \[\begin{aligned}\left(\cos(a)\right)^2+\left(\sin(a)\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{33}}{7}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\dfrac{33}{49}=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=1-\dfrac{33}{49}\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=\dfrac{16}{49}\\ \end{aligned}\] On en déduit que : \[\begin{aligned}\cos(a)=\sqrt{\dfrac{16}{49}}\text{ ou }\cos(a)=-\sqrt{\dfrac{16}{49}}\\ \Leftrightarrow &\cos(a)=\dfrac{4}{7}\text{ ou }\cos(a)=-\dfrac{4}{7}\\ \end{aligned}\] Or nous savons que $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ donc $\cos(a)\leq 0 $ donc $\cos(a)\neq\dfrac{4}{7}$ on en déduit que $\cos(a)=-\dfrac{4}{7}$.