Soit $g$ la fonction définie sur \R par $g(x)=-3x^2+x+14$

1. Déterminer les éventuelles racines de $g$.
2. En déduire l'expression factorisée de $g(x)$ si elle existe.

Correction

1. Il s'agit de résoudre $g(x)=0\Longleftrightarrow -3x^2+x+14=0$ qui est une équation du second degré. On identifie $a=-3\,b=1$ et $c=14$. Ainsi $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times(-3)\times 14=169>0$. On en déduit que $g$ admet deux racines : \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-1-\sqrt{169}}{2\times (-3)} & x_2 &= \dfrac{-1+\sqrt{169}}{2\times (-3)}\\= \dfrac{-14}{-6} & &= \dfrac{12}{-6}\\= \dfrac{7}{3} & &= -2\\ \end{aligned}\]
2. De plus $g(x)$ est factorisable et on a : $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=-3\left(x-\dfrac{7}{3}\right)\left(x+2\right)$