Camille lance, à l’instant $t=0$, une balle de la fenêtre de sa chambre qui est à trois mètres du sol. On note $h(t)$ la hauteur de la balle, en mètres, $t$ secondes après avoir été lancée. On admet que la courbe représentative de la fonction $h$ est une parabole de sommet $S(2,5;6,125)$.

1. Déterminer sous forme canonique l’expression de $h(t)$ en fonction de $t$.

   Pour la suite de l'exercice, on utilisera le résultat : $h(t)=-\dfrac{1}{2}(t-2,5)^2+6,125$

2. Développer et factoriser $h(t)$
3. Pendant combien de temps la balle restera-t-elle au-dessus de $5$ m de hauteur ?
4. Si aucun obstacle ne se place sur la trajectoire de la balle, au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?

Correction

1. $h(t)=a(t-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont les coordonnées du sommet de la parabole. Ainsi $\alpha=2,5$ et $\beta=6,125$. Ainsi $h(t)=a(t-2,5)^2+6,125$. Il reste à déterminer la valeur de $a$. Or nous savons que $h(0)=3$ donc $a(0-2,5)^2+6,125=3$ d'où $a=\dfrac{3-6,125}{(-2,5)^2}=-\dfrac{1}{2}$ ainsi $h(t)=-\dfrac{1}{2}(t-2,5)^2+6,125$
2. Développement : $h(t)=-\dfrac{1}{2}(t-2,5)^2+6,125=-\dfrac{1}{2}\left(t^2-5t+2,5^2\right)+6,125=-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t+3$

   Factorisation : $\Delta = b^2-4ac=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-4\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times3=\dfrac{49}{4}>0$ ainsi $h$ admet deux racines distinctes
   $t_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{49}{4}}}{-1}=-1$ et $t_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{49}{4}}}{-1}=6$
   On en déduit que $h(t)=a(t-t_1)(t-t_2)=-\dfrac{1}{2}(t+1)(t-6)$

3. Il s'agit de résoudre $h(t)\geq 5 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t+3\geq 5 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t-2\geq 0$. On est ramené à étudier le signe de $-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t-2$.
   $\Delta=b^2-4ac=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-4\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-2)=\dfrac{9}{4}>0$; Ce polynôme sera donc du signe de $a=-\dfrac{1}{2}<0$ à l'extérieur de ses deux racines :
   $t_3=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}}{-1}=1$ et $t_4=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}}{-1}=4$
   

   D'où le tableau de signes : $

   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
   $ Ainsi $-\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{5}{2}t-2\geq 0$ pour $t\in [1;4]$ On en déduit que la balle reste au-dessus des cinq mètres pendant $3$ secondes.
4. La balle touche le sol lorsque sa hauteur est de $0$. Il s'agit don de résoudre l'équation $h(t)=0$ or nous connaissons déjà les racines de $h$ : $t_1=-1$ et $t_2=6$. La première solution n'étant pas possible (temps négatif) on en déduit que la balle retombe au sol au bout de $6$ secondes.