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Une jardinerie vend des articles provenant de trois horticulteurs A, B et C

corrigé

Énoncé

Une jardinerie vend des articles provenant de trois horticulteurs A, B et C. $35\%$ des articles proviennent de l’horticulteur A, $25\%$ de l’horticulteur B et le reste de l’horticulteur C. La livraison de l’horticulteur A comporte $80\%$ de fleurs et $20\%$ d’arbres alors que l’horticulteur B fournit $50\%$ de fleurs et $50\%$ d’arbres. L’horticulteur C livre $30\%$ de fleurs et $70\%$ d’arbres.
    Le gérant de la jardinerie choisit un article de son magasin au hasard.
    
    On note respectivement A, B, C et F les événements :
    \begin{itemize}
        \item $A$ : « l’article provient de l’horticulteur A » ;
        \item $B$ : « l’article provient de l’horticulteur B » ;
        \item $C$ : « l’article provient de l’horticulteur C » ;
        \item $F$ : « l’article est une fleur ».
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
        \item Calculer la probabilité que l’article soit une fleur provenant de l’horticulteur A.
        \item Montrer que la probabilité de l’événement $F$ est $0,525$.
        \item Calculer la probabilité que l’article provienne de l’horticulteur A sachant que c’est une fleur.
        \item On choisit au hasard deux articles de la jardinerie. On suppose que le nombre d’articles est suffisamment grand pour associer ce choix à un tirage avec remise.
        
        On note la nature de l’article : une fleur ou un arbre.
        \begin{enumerate}
            \item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
            \item Calculer la probabilité d’avoir choisi deux fleurs.
            \item Calculer la probabilité d’avoir choisi une seule fleur.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}

On note respectivement A, B, C et F les événements :

$A$ : « l’article provient de l’horticulteur A » ;
$B$ : « l’article provient de l’horticulteur B » ;
$C$ : « l’article provient de l’horticulteur C » ;
$F$ : « l’article est une fleur ».

Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
Calculer la probabilité que l’article soit une fleur provenant de l’horticulteur A.
Montrer que la probabilité de l’événement $F$ est $0,525$.
Calculer la probabilité que l’article provienne de l’horticulteur A sachant que c’est une fleur.
On choisit au hasard deux articles de la jardinerie. On suppose que le nombre d’articles est suffisamment grand pour associer ce choix à un tirage avec remise.

On note la nature de l’article : une fleur ou un arbre.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item D'après l'énoncé : $P(A)=0,35$, $P(B)=0,25$ et $P(C)=1-0,35-0,25=0,4$. L'arbre pondéré traduisant la situation est :
        \begin{center}
            \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=8mm}
            \pstree[treemode=R]{\Tp}
            {
                \pstree{\TR{$A$}^{0,35}}
                {
                    \TR{$F$}^{0,8}
                    \TR{$\overline{F}$}_{0,2}
                }
                \pstree{\TR{$B$}^{0,25}}
                {
                    \TR{$F$}^{0,5}
                    \TR{$\overline{F}$}_{0,5}
                }
                \pstree{\TR{$C$}_{0,4}}
                {
                    \TR{$F$}^{0,3}
                    \TR{$\overline{F}$}_{0,7}
                }
            }
        \end{center}
        \item $P(A\cap F)=P(A)\times P_A(F)=0,35\times 0,8=0,28$. La probabilité que l'article soit une fleur provenant de l'horticulteur A est $0,28$.
        \item $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
        $P(F)=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F)=0,35\times 0,8+0,25\times 0,5+0,4\times 0,3=0,28+0,125+0,12=0,525$
        \item $P_F(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}=\dfrac{0,28}{0,525}=\dfrac{8}{15}\approx 0,533$.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item Les deux tirages étant indépendants (tirage avec remise), l'arbre pondéré est :
            \begin{center}
                \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
                \pstree[treemode=R]{\Tp}
                {
                    \pstree{\TR{$F$}^{0,525}}
                    {
                        \TR{$F$}^{0,525}
                        \TR{$\overline{F}$}_{0,475}
                    }
                    \pstree{\TR{$\overline{F}$}_{0,475}}
                    {
                        \TR{$F$}^{0,525}
                        \TR{$\overline{F}$}_{0,475}
                    }
                }
            \end{center}
            \item La probabilité d'avoir choisi deux fleurs est $0,525\times 0,525=0,525^2=\np{0,275625}$.
            \item Avoir choisi une seule fleur correspond aux issues $(F~;~\overline{F})$ et $(\overline{F}~;~F)$. La probabilité est donc :
            $0,525\times 0,475+0,475\times 0,525=2\times 0,525\times 0,475=\np{0,49875}$
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

D'après l'énoncé : $P(A)=0,35$, $P(B)=0,25$ et $P(C)=1-0,35-0,25=0,4$. L'arbre pondéré traduisant la situation est :
\psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=8mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$A$}^{0,35}} { \TR{$F$}^{0,8} \TR{$\overline{F}$}_{0,2} } \pstree{\TR{$B$}^{0,25}} { \TR{$F$}^{0,5} \TR{$\overline{F}$}_{0,5} } \pstree{\TR{$C$}_{0,4}} { \TR{$F$}^{0,3} \TR{$\overline{F}$}_{0,7} } }
$P(A\cap F)=P(A)\times P_A(F)=0,35\times 0,8=0,28$. La probabilité que l'article soit une fleur provenant de l'horticulteur A est $0,28$.
$A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : $P(F)=P(A\cap F)+P(B\cap F)+P(C\cap F)=0,35\times 0,8+0,25\times 0,5+0,4\times 0,3=0,28+0,125+0,12=0,525$
$P_F(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}=\dfrac{0,28}{0,525}=\dfrac{8}{15}\approx 0,533$.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2021-2022	`DS\21-22\21-22-1spe-DS4.tex`	7 pts