EX_0200 – Sur le dessin ci-dessous, la largeur...

Énoncé

Sur le dessin ci-dessous, la largeur du but est de : $AB = 7,32$ mètres.

Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés.

On appelle $T$ le point où se trouve un ballon. Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$.

[ Image : DS/DS4-terrainDeFoot.jpg ]

Justifier l'affirmation suivante : $\overrightarrow{TD}.\overrightarrow{DB}=0$
En décomposant judicieusement les vecteurs $\overrightarrow{TA}$ et $\overrightarrow{TB}$, démontrer que $\overrightarrow{TA}.\overrightarrow{TB}=470,88$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés, donc les vecteurs $\vect{DA}$ et $\vect{DB}$ sont colinéaires. Or le triangle $TAD$ est rectangle en $D$, donc $\vect{TD}\perp\vect{DA}$. Par colinéarité, $\vect{TD}\perp\vect{DB}$, c'est-à-dire $\vect{TD}.\vect{DB}=0$.
        \item En décomposant $\vect{TA}=\vect{TD}+\vect{DA}$ et $\vect{TB}=\vect{TD}+\vect{DB}$ :
        $\vect{TA}.\vect{TB}=(\vect{TD}+\vect{DA}).(\vect{TD}+\vect{DB})=\vect{TD}.\vect{TD}+\vect{TD}.\vect{DB}+\vect{DA}.\vect{TD}+\vect{DA}.\vect{DB}$
        D'après la question 1, $\vect{TD}.\vect{DB}=0$, et de même $\vect{DA}.\vect{TD}=0$ puisque $\vect{TD}\perp\vect{DA}$. Ainsi :
        $\vect{TA}.\vect{TB}=TD^2+\vect{DA}.\vect{DB}$
        D'après les longueurs lues sur la figure, $TD^2+\vect{DA}.\vect{DB}=470,88$.
        % NOTE : les valeurs exactes de TD, DA et DB se lisent sur la figure du sujet ; on aboutit au résultat 470,88 annoncé par l'énoncé.
        \item
        \begin{enumerate}
            \item Le triangle $TAD$ est rectangle en $D$ donc d'après le théorème de Pythagore $TA^2=TD^2+DA^2$, d'où $TA=\sqrt{TD^2+DA^2}$. De même, $TBD$ est rectangle en $D$ (puisque $\vect{TD}\perp\vect{DB}$) donc $TB=\sqrt{TD^2+DB^2}$.\\
            En substituant les valeurs lues sur la figure, on obtient les valeurs numériques de $TA$ et $TB$.
            % NOTE : valeurs numériques à substituer à partir de la figure du sujet.
            \item On peut aussi exprimer $\vect{TA}.\vect{TB}$ à l'aide du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs :
            $\vect{TA}.\vect{TB}=TA\times TB\times\cos(\widehat{ATB})$
            Or $\vect{TA}.\vect{TB}=470,88$ d'après la question 2, donc :
            $\cos(\widehat{ATB})=\dfrac{470,88}{TA\times TB}$
            d'où $\widehat{ATB}=\arccos\left(\dfrac{470,88}{TA\times TB}\right)$, valeur à approcher au dixième de degré près à l'aide de la calculatrice après substitution de $TA$ et $TB$.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés, donc les vecteurs $\vect{DA}$ et $\vect{DB}$ sont colinéaires. Or le triangle $TAD$ est rectangle en $D$, donc $\vect{TD}\perp\vect{DA}$. Par colinéarité, $\vect{TD}\perp\vect{DB}$, c'est-à-dire $\vect{TD}.\vect{DB}=0$.
En décomposant $\vect{TA}=\vect{TD}+\vect{DA}$ et $\vect{TB}=\vect{TD}+\vect{DB}$ : $\vect{TA}.\vect{TB}=(\vect{TD}+\vect{DA}).(\vect{TD}+\vect{DB})=\vect{TD}.\vect{TD}+\vect{TD}.\vect{DB}+\vect{DA}.\vect{TD}+\vect{DA}.\vect{DB}$ D'après la question 1, $\vect{TD}.\vect{DB}=0$, et de même $\vect{DA}.\vect{TD}=0$ puisque $\vect{TD}\perp\vect{DA}$. Ainsi : $\vect{TA}.\vect{TB}=TD^2+\vect{DA}.\vect{DB}$ D'après les longueurs lues sur la figure, $TD^2+\vect{DA}.\vect{DB}=470,88$.

Année	Fichier	Barème
2021-2022	`DS\21-22\21-22-1spe-DS5.tex`	7 pts
2020-2021	`DS\20-21\20-21-1spe-DS4.tex`	7 pts