En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7\%$ chaque année.
On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année ($2000+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an 2000.
Ainsi, $u_0=187$.

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
2. Pour tout $n\in\N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
5. Des études montrent que $20\%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70\%$ de ces déchets finissent par couler.
   Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l'océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.

Correction

1. D'une année à la suivante, la production augmente de $t=3,7\%=0,037$, elle est donc multipliée par $CM=1+t=1,037$. Ainsi, pour toute année $n$ on a : $u_{n+1}=1,037u_n$. On en déduit que la suite $u$ est géométrique, de raison $q=1,037$ et de premier terme $u_0=187$.
2. $u_n=u_0\times q^n=187\times 1,037^n$
3. $1<1,037$ donc la suite de terme général $1,037^n$ est croissante. De plus $u_0=187>0$ donc $u$ est croissante.
4. L'année 2019 correspond à l'année de rang $n=19$. La production estimée est donc $u_{19}=187\times 1,037^{19}\approx 373$ millions de tonnes.
5. La production de plastique de 2000 à 2019 est de : $u_0+u_1+\ldots +u_{19}=u_0\dfrac{1-q^{20}}{1-q}=187\dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\approx 5398$ millions de tonnes.
   Seule $20\%$ de cette production se retrouve dans l'océan soit : $0,2\times 5398 \approx 1080$ millions de tonnes dont $30\%$ reste à la surface soit : $1080\times 0,3 = 324$ millions de tonnes