EX_0214 – Soit $u$ la suite définie pour tout...

Énoncé

Soit $u$ la suite définie pour tout $n\in \N$ par : $u_n=n^2-3n+12$

Calculer les trois premiers termes de $u$.
Calculer $u_{10}$.
Déterminer le sens de variation de $u$.
Conjecturer la limite éventuelle de $u$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item   $u_0 = 0^2-3\times 0+12 = 12$\\
                    $u_1 = 1^2-3\times 1+12 = 10$\\
                    $u_2 = 2^2-3\times 2+12 = 10$
            \item   $u_{10} = 10^2-3\times 10+12 = 82$
            \item $u$ étant définie par une formule explicite de la forme $u_n = f(n)$ avec $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=x^2-3x+12$ nous pouvons étudier les variations de $f$. Nous savons que si $f$ est monotone sur un intervalle de la forme $[x_0;+\infty [$ alors $u$ aura le même sens de variation à partir de $x_0$.\\
            Or $f$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=1>0$ nous savons donc qu'elle est strictement croissante sur $\left[ -\dfrac{b}{2a};+\infty \right[$ . Ici, $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2} = 1,5$. Ainsi $u$ est croissante à partir du rang $n=2$
            \item Puisque la fonction $f$ devient aussi grande que l'on veut lorsque $x$ devient grand, on peut supposer que $u$ diverge vers $+\infty$
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

Correction

$u_0 = 0^2-3\times 0+12 = 12$
$u_1 = 1^2-3\times 1+12 = 10$
$u_2 = 2^2-3\times 2+12 = 10$
$u_{10} = 10^2-3\times 10+12 = 82$
$u$ étant définie par une formule explicite de la forme $u_n = f(n)$ avec $f$ la fonction définie sur $\R^+$ par $f(x)=x^2-3x+12$ nous pouvons étudier les variations de $f$. Nous savons que si $f$ est monotone sur un intervalle de la forme $[x_0;+\infty [$ alors $u$ aura le même sens de variation à partir de $x_0$.
Or $f$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=1>0$ nous savons donc qu'elle est strictement croissante sur $\left[ -\dfrac{b}{2a};+\infty \right[$ . Ici, $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2} = 1,5$. Ainsi $u$ est croissante à partir du rang $n=2$
Puisque la fonction $f$ devient aussi grande que l'on veut lorsque $x$ devient grand, on peut supposer que $u$ diverge vers $+\infty$