EX_0216 – Dans cet exercice, il y a trois...

Énoncé

ATTENTION : Dans cet exercice, il y a trois suites différentes nommées respectivement $u$, $v$ et $w$. Ne les confondez pas !
Soit $u$ la suite définie par $\sys{u_0 = 2}{u_{n+1}=3u_n+8, \text{pour tout }n\in\N}$

Soit $w$ la suite définie pour tout $n\in\N$ par $w_n=6\times 3^n$
On pose alors, pour tout $n\in\N : v_n=u_n+4$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item $w_0 = 6\times 3^0=6$
                \item Pour tout $n\in\N : w_{n+1}=6\times 3^{n+1}=6\times 3^n\times 3^1=3\times\left(6\times 3^n\right)=3w_n$
            \end{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item $v_0 = u_0 + 4 = 2+4=6$
                \item Puisque $v_n=u_n+4$ nous savons que $u_n=v_n-4$. Ainsi nous pouvons calculer :\\
                $v_{n+1} = u_{n+1}+4=3u_n+8+4=3(v_n-4)+12="V_n-12+12=3v_n$
            \end{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item $v$ et $w$ ont le même premier terme ($6$) et sont définies par la même relation de récurrence. On peut en déduire que ces deux suites sont égales.
                \item Ainsi, pour tout $n\in\N : v_n = w_n = 6\times 3^n$
                \item Or, pour tout $n\in\N : u_n = v_n-4=6\times 3^n - 4$
            \end{enumerate}
        \end{enumerate}
        
    \end{varwidth}