EX_0217 – Dans tout l'exercice, les résultats...

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Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix milli...

corrigé

Énoncé

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.

On étudie un test de dépistage pour une certaine maladie dans une population donnée. On sait que 1\% de la population est atteint de la maladie. Des études ont montré que si une personne est malade, alors le test se révèle positif dans 97\% des cas et si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans 98\% des cas. 
    
    Pour une personne à qui ont fait passer le test de dépistage on associe les événements :
    \begin{itemize}
        \item $M$ : la personne est malade,
        \item $T$ : le test est positif.
    \end{itemize}
    	
    
    
    \begin{enumerate}
        \item Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’exercice.
            \begin{center}
                \psset{nodesep=1mm,levelsep=20mm,%
                treesep=10mm}
                \pstree[treemode=R]{\Tp}
                {
                    \pstree{\TR{$M$}}
                    {
                        \TR{$T$}
                        \TR{$\overline{T}$}
                    }
                    \pstree{\TR{$\overline{M}$}}
                    {
                        \TR{$T$}
                        \TR{$\overline{T}$}
                    }
                }
            \end{center}
        \item Justifier que $P(\overline{M}\cap T)=0,0198$.
        \item Montrer que $P(T)=0,0295$.
        \item Calculer $P_T(M)$.
        \item Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie ? 
    \end{enumerate}

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au dix millième.

Pour une personne à qui ont fait passer le test de dépistage on associe les événements :

$M$ : la personne est malade,
$T$ : le test est positif.

Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’exercice.
\psset{nodesep=1mm,levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$M$}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}} { \TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } }
Justifier que $P(\overline{M}\cap T)=0,0198$.
Montrer que $P(T)=0,0295$.
Calculer $P_T(M)$.
Une personne dont le test se révèle positif est-elle nécessairement atteinte par cette maladie ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item D'après l'énoncé, $P(M)=0,01$, $P_M(T)=0,97$ et $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0,98$, donc $P(\overline{M})=0,99$, $P_M(\overline{T})=0,03$ et $P_{\overline{M}}(T)=0,02$. L'arbre complété est :
        \begin{center}
            \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
            \pstree[treemode=R]{\Tp}
            {
                \pstree{\TR{$M$}^{0,01}}
                {
                    \TR{$T$}^{0,97}
                    \TR{$\overline{T}$}_{0,03}
                }
                \pstree{\TR{$\overline{M}$}_{0,99}}
                {
                    \TR{$T$}^{0,02}
                    \TR{$\overline{T}$}_{0,98}
                }
            }
        \end{center}
        \item $P(\overline{M}\cap T)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=0,99\times 0,02=0,0198$.
        \item $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
        $P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=P(M)\times P_M(T)+0,0198=0,01\times 0,97+0,0198=0,0097+0,0198=0,0295$
        \item $P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,0097}{0,0295}\approx 0,3288$.
        \item $P_T(M)\approx 0,3288$ signifie que, parmi les personnes dont le test est positif, environ $32,88\%$ sont effectivement malades. Une personne dont le test est positif n'est donc pas nécessairement atteinte par la maladie : la probabilité qu'elle le soit est même inférieure à un tiers.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

D'après l'énoncé, $P(M)=0,01$, $P_M(T)=0,97$ et $P_{\overline{M}}(\overline{T})=0,98$, donc $P(\overline{M})=0,99$, $P_M(\overline{T})=0,03$ et $P_{\overline{M}}(T)=0,02$. L'arbre complété est :
\psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$M$}^{0,01}} { \TR{$T$}^{0,97} \TR{$\overline{T}$}_{0,03} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}_{0,99}} { \TR{$T$}^{0,02} \TR{$\overline{T}$}_{0,98} } }
$P(\overline{M}\cap T)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=0,99\times 0,02=0,0198$.
$M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : $P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)=P(M)\times P_M(T)+0,0198=0,01\times 0,97+0,0198=0,0097+0,0198=0,0295$
$P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,0097}{0,0295}\approx 0,3288$.
$P_T(M)\approx 0,3288$ signifie que, parmi les personnes dont le test est positif, environ $32,88\%$ sont effectivement malades. Une personne dont le test est positif n'est donc pas nécessairement atteinte par la maladie : la probabilité qu'elle le soit est même inférieure à un tiers.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (2)

Année	Fichier	Barème
2022-2023	`DS\22-23\22-23-1spe-DS5.tex`	5 pts
2020-2021	`DS\20-21\20-21-1spe-DS3.tex`	5 pts