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On souhaite déterminer la valeur exacte de $ ( 5 )$
corrigé

Énoncé

On souhaite déterminer la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.

Pour cela, on considère un triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $AB=2$ et $\widehat{ABC}=\dfrac{2\pi}{5}.$

On note $BC = l$ où $l$ est réel strictement positif. On trace la bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ et on note $M$ le point d'intersection de cette bissectrice avec le segment $[AC]$

  1. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle $ABC$.
  2. Déterminer la mesure en radian de tous les angles du triangle $BMC$ et en déduire que ce triangle est isocèle.
  3. Démontrer que le triangle $BMA$ est isocèle.
  4. Que peut-on déduire pour les longueurs $BC$, $BM$ et $AM$ ?
  5. On peut alors démontrer que les triangles $ABC$ et $BMC$ sont semblables c'est-à-dire que $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{CM}{BC}$. (On ne vous demande pas de le démontrer)

    Démontrer que $l$ est solution de l'équation $(l+1)^2-5=0$ et en déduire sa valeur

  6. En utilisant la construction d'une autre droite, démontrer que $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$

Correction

Correction

  1. Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{2\pi}{5}$. Or la somme des angles d'un triangle vaut $\pi$, ainsi $\widehat{BAC}=\pi-\dfrac{2\pi}{5}-\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{5\pi-4\pi}{5}=\dfrac{\pi}{5}$.
  2. $(BM)$ est la bissectrice de $\widehat{ABC}$ donc $\widehat{ABM}=\widehat{MBC}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\pi}{5}$. Dans le triangle $BMC$, on a $\widehat{MBC}=\dfrac{\pi}{5}$ et $\widehat{BCM}=\widehat{ACB}=\dfrac{2\pi}{5}$, ainsi $\widehat{BMC}=\pi-\dfrac{\pi}{5}-\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{2\pi}{5}$. Le triangle $BMC$ possède deux angles égaux à $\dfrac{2\pi}{5}$, il est donc isocèle en $C$.
  3. Dans le triangle $BMA$, on a $\widehat{ABM}=\dfrac{\pi}{5}$ et $\widehat{BAM}=\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{5}$. Le triangle $BMA$ possède donc deux angles égaux, il est isocèle en $M$.
  4. Le triangle $BMC$ est isocèle en $C$ donc $BM=CM$. Le triangle $BMA$ est isocèle en $M$ donc $BM=AM$. Ainsi $BC=BM=AM$ est faux : le triangle $BMC$ étant isocèle en $C$, on a $CB=CM$, c'est-à-dire $BC=CM$. Or $CM=AC-AM$ et le triangle $BMA$ isocèle en $M$ donne $BM=AM$. On en déduit que $BC=BM=AM$.
  5. D'après la similitude des triangles $ABC$ et $BMC$ : $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{CM}{BC}$. Or $AB=2$, $BC=l$, et $CM=AC-AM=AB-AM=2-l$ (puisque $AC=AB=2$ et $AM=BC=l$). Ainsi $\dfrac{l}{2}=\dfrac{2-l}{l}$ d'où $l^2=2(2-l)=4-2l$ soit $l^2+2l-4=0$. Or $(l+1)^2-5=l^2+2l+1-5=l^2+2l-4$, ainsi $l$ est solution de $(l+1)^2-5=0$.
    On en déduit que $(l+1)^2=5$ d'où $l+1=\sqrt{5}$ ou $l+1=-\sqrt{5}$. Comme $l>0$, on a $l+1>0$ donc $l+1=\sqrt{5}$ et $l=\sqrt{5}-1$.
  6. On trace la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$. Comme $ABC$ est isocèle en $A$, cette hauteur coupe $[BC]$ en son milieu $H$. Ainsi $BH=\dfrac{l}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$. Dans le triangle rectangle $ABH$ (rectangle en $H$), on a $\cos\left(\widehat{ABH}\right)=\dfrac{BH}{AB}$, soit $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$.