On considère la fonction polynôme du troisième degré $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=2x^3+x^2-5x+2$

1. Vérifier que $1$ est racine de $f$ .
2. On admet qu’il existe des réels $a$, $b$ et $c$ tels que $f(x) = (x-1)(ax^2+bx+c)$.

   Montrer que, pour tout réel x : $f(x)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$

3. En déduire les valeurs des réels $a$, $b$ et $c$ et écrire $f(x)$ sous forme factorisée.
4. Résoudre l’équation $f(x)=0$

Correction

1. $f(1) = 2\times1^3+1^2-5\times1+2=2+1-5+2=0$ donc $1$ est une racine de $f$.
2. On développe l'expression fournie : $f(x) = (x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
3. $f(x)=\tcr{a}x^3+\tcb{(b-a)}x^2+\tcv{(c-b)}x\tco{-c}$ et $f(x)=\tcr{2}x^3+\tcb{1}x^2\tcv{-5}x+\tco{2}$ en identifiant on obtient le système suivant :

   $\systeme{\tcr{a=2},\tcb{b-a=1},\tcv{c-b = -5},\tco{-c=2}} \Leftrightarrow \systeme{a=2,b=3,c=-2}$

   Ainsi $f(x)=(x-1)(2x^2+3x-2)$ pour obtenir une forme complètement factorisée il reste à factoriser $2x^2+3x-2$ qui est une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=3$ et $c=-2$. On en déduit que $\Delta = 3^2-4\times2\times(-2)=25>0$ donc ce polynôme admet deux racines distinctes : \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & x_2 &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\= \dfrac{-3-\sqrt{25}}{2\times 2} & &= \dfrac{-3+\sqrt{25}}{2\times 2}\\= \dfrac{-3-5}{4} & &= \dfrac{-3+5}{4}\\= -2 & &= \dfrac{1}{2}\\ \end{aligned}\] Ainsi $2x^2+3x-2=a(x-x_1)(x-x_2)=2(x+2)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ donc $f(x)=2(x-1)(x+2)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$

4. $f(x)=0$ revient alors à : \[\begin{aligned} x-1 &= 0 &\text{OU}& & x+2 &= 0 &\text{OU}& & x-\dfrac{1}{2} &=0\\ x &= 1 &\text{OU}& & x &= -2 &\text{OU}& & x &=\dfrac{1}{2}\\ \end{aligned}\] donc $\mathcal{S}=\left\{-2;\dfrac{1}{2};1\right\}$