EX_0249 – Une médiathèque a ouvert début 2017...

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Une médiathèque a ouvert début 2017 et $ $ personnes se sont inscrites durant la...

corrigé

Énoncé

Une médiathèque a ouvert début 2017 et $\np{3000}$ personnes se sont inscrites durant la première année. Chaque année, $75 \%$ des inscrits renouvellent leur abonnement et $500$ nouvelles adhésions ont lieu. On modélise la situation par la suite $(a_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, où $a_0=\np{3000}$ est le nombre d’adhérents en 2017 et $a_n$ le nombre d’inscrits l’année $2017 + n$.
\begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Calculer $a_1$ et $a_2$.
        \item Justifier que, pour tout entier naturel n, on a $a_{n+1}=0,75a_n+500$.
    \end{enumerate}
    \item On pose $b_n=a_n-\np{2000}$ pour tout entier naturel $n$.
    \begin{enumerate}
        \item Prouver que la suite $(b_n)$ est une suite géométrique en précisant sa raison et son premier terme.
        \item En déduire l’expression des termes $b_n$ puis $a_n$ en fonction de $n$.
        \item Quel est le sens de variation de chacune de ces suites ?
    \end{enumerate}
    \item On propose la fonction suivante définie en python. 
    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.5]{DS/21-22/DS_rattrapage_T3.png}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Que renvoie cette fonction ?
        \item Interpréter ce résultat.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

On pose $b_n=a_n-\np{2000}$ pour tout entier naturel $n$.
On propose la fonction suivante définie en python.

[ Image : DS/21-22/DS_rattrapage_T3.png ]

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Exercice 2 - Correction}
        \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item On commence par calculer $a_1$ et $a_2$ :\\
        \begin{flalign*}
            a_1 &= 0,75a_0 + 500 &\\
            &= 0,75 \times \np{3000} + 500& \\
            &= \np{2750}&
        \end{flalign*}
        et
        \begin{flalign*}
            a_2 &= 0,75a_1 + 500& \\
            &= 0,75 \times \np{2750} + 500& \\
            &= \np{2562,5}&
        \end{flalign*}
        \item Pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1}=0,75a_n+500$ car chaque année, $75\%$ des inscrits de l'année précédente renouvellent leur abonnement ($=0,75a_n$) auxquels s'ajoutent $500$ nouvelles adhésions ont lieu.
    \end{enumerate}
    \item On pose $b_n=a_n-\np{2000}$ pour tout entier naturel $n$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrons que la suite $(b_n)$ est une suite géométrique. Remarquons tout d'abord que pour tout entier naturel $n$ on a : $a_n=b_n+\np{2000}$
        \begin{flalign*}
            b_{n+1} &= a_{n+1} - \np{2000}& \\
            &= (0,75a_n + 500) - \np{2000}& \\
            &= 0,75a_n-\np{1500}& \\
            &= 0,75(b_n+\np{2000})-\np{1500}& \\
            &= 0,75b-n + \np{1500}-\np{1500}& \\
            &= 0,75b_n&
        \end{flalign*}
        Donc, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $0.75$ et de premier terme $b_0 = a_0 - \np{2000} = \np{1000}$.
        \item En utilisant la formule du terme général d'une suite géométrique, on obtient :
        \begin{flalign*}
            b_n &= b_0 \times 0.75^n& \\
            &= \np{1000} \times 0.75^n&
        \end{flalign*}
        Puis, on exprime $a_n$ en fonction de $b_n$ et $n$ :
        \begin{flalign*}
            a_n &= b_n + \np{2000}& \\
            &= \np{1000} \times 0.75^n + \np{2000}&
        \end{flalign*}
        \item La suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $0<0.75<1$ et de premier terme $1000>0$, donc elle est décroissante. La suite $(a_n)$ est la somme d'une suite décroissante et d'une constante, donc elle est également décroissante.
    \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
        \item Cette fonction renvoie le rang du premier terme de la suite $a$ ayant une valeur inférieure à $2100$. Elle renvoie donc $9$ car $u_8=2100,113>2100$ et $u_9 = 2075,085 \leq 2100$
        \item Il s'agit du rang de l'année à partir de laquelle le nombre d'inscrit.es à la médiathèque devient plus petit que $2100$. On en déduit que $2026$ sera la première année avec moins de $2100$ inscrit.es à la médiathèque.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
    \end{varwidth}

Exercice 2 - Correction

On pose $b_n=a_n-\np{2000}$ pour tout entier naturel $n$.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (3)

Année	Fichier	Barème
2023-2024	`DS\23-24\23-24-1spe-DS5.tex`	5 pts
2022-2023	`DS\22-23\22-23-1spe-DS6.tex`	5 pts
2021-2022	`DS\21-22\1MATHS1-maths-rattrapage-T3.tex`	7 pts