Une entreprise produit des tablettes tactiles avec un maximum de production de $\np{30000}$ unités par mois. Soit $x$ le nombre de milliers de tablettes produites. Le coût de production en milliers d'euros est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;30[$ par : $C(x)=-\dfrac{1}{3}x^3+22x^2+96x$. Chaque tablette est vendue $480$ euros et on suppose que l’entreprise écoule toute sa production mensuelle.

1. On note $R(x)$ la recette en milliers d'euros pour $x$ tablettes vendues.
   Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
2. Montrer que le bénéfice de l'entreprise sera alors donné par la fonction $B$ définie sur $[0;30[$ par : \[B(x)=\dfrac{1}{3}x^3-22x^2+384x\]
3. Établir le tableau de variations de $B$ sur $[0;30[$.
4. Donner la production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal et préciser la valeur de ce bénéfice.

Exercice 3 - Correction

1. Chaque tablette est vendue 480 euros, soit 0,48 milliers d'euros. Alors, la recette pour $x$ milliers de tablettes vendues est $R(x) = 0,48\times1000x=480x$.
2. Le bénéfice est égal à la différence entre la recette et le coût de production, c'est-à-dire $B(x) = R(x) - C(x)$. En utilisant l'expression de $C(x)$ donnée dans l'énoncé et en remplaçant $R(x)$ par $0,48x$, on obtient : \[\begin{aligned} B(x) &= 480x - \left(-\dfrac{1}{3}x^3 + 22x^2 + 96x\right)\\= \dfrac{1}{3}x^3 - 22x^2 + 384x.\end{aligned}\]
3. Établir le tableau de variations de $B$ sur $[0;30[$.

   Pour établir le tableau de variations, on calcule la dérivée de $B(x)$ : \[\begin{aligned} B'(x) &= x^2 - 44x + 384.\end{aligned}\]

   On étudie alors le signe de $B'$ qui est un polynôme du second degré : \[\begin{aligned} \Delta &= (-44)^2 - 4 \times 1 \times 384\\= 1936 - 1536\\= 400.\end{aligned}\]

   Comme $\Delta > 0$, $B'(x)$ est du signe de $a=1>0$ à l'extérieur de ses deux racines : \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{44 - \sqrt{400}}{2} = \dfrac{44 - 20}{2} = 12,\\ x_2 &= \dfrac{44 + \sqrt{400}}{2} = \dfrac{44 + 20}{2} = 32.\end{aligned}\]

   On remarque cependant que $x_2 = 32$ n'appartient pas à l'intervalle $[0; 30[$. On alors peut dresser le tableau de variations de $B(x)$ :

   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
4. La production à réaliser pour obtenir le bénéfice maximal est donc de $12$ milliers de tablettes, c'est-à-dire $\np{12000}$ tablettes. Le bénéfice maximal en milliers d'euros est donné par $B(12)$ :
   

   $B(12) = \dfrac{1}{3}\times12^3 - 22\times12^2 + 384\times12 = \np{2016}$
   Ainsi, le bénéfice maximal est de $\np{2016}$ milliers d'euros, soit $\np{2016000}$ euros.