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Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé u...

corrigé

Énoncé

% LLS ex 76
Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.

Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible. Lorsque la bille n'atteint pas la cible, elle revient à son point de départ.
On note :
\begin{itemize}
    \item $C$ l'événement : «la cible est atteinte»
    \item $B$ l'événement : «la bille est avalée»
\end{itemize}
Une étude préliminaire a démontré que :
\begin{itemize}
    \item la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à $0,3$;
    \item lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à $0,2$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
    \item Traduire la situation par un arbre de probabilité.
    \item On actionne le bouton.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la probabilité que la bille soit avalée.
        \item Calculer la probabilité qu'elle reste sur la cible.
    \end{enumerate}
    \item Pour jouer, on paie $0,60$ € et on actionne le bouton qui lance la bille :
    \begin{itemize}
        \item si la bille est avalée, on gagne un lot d'une valeur de $g$ € ;
        \item si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
        \item si la bille rate la cible, on perd la mise.
    \end{itemize}
    Soit $G$ la variable aléatoire qui donne le gain, éventuellement négatif, d'un joueur. 
    
    Déterminer la loi de probabilité de $G$
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $E(G)=0,06g-0,456$
        \item On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées. Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent-ils espérer un bénéfice ?
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton.

$C$ l'événement : «la cible est atteinte»
$B$ l'événement : «la bille est avalée»

Une étude préliminaire a démontré que :

la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à $0,3$;
lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la bille soit avalée est égale à $0,2$.

Traduire la situation par un arbre de probabilité.
On actionne le bouton.
Pour jouer, on paie $0,60$ € et on actionne le bouton qui lance la bille :

Soit $G$ la variable aléatoire qui donne le gain, éventuellement négatif, d'un joueur.

Déterminer la loi de probabilité de $G$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
    \item L'arbre de probabilité est laissé à votre soin.
    \item On actionne le bouton.
    \begin{enumerate}
        \item  $C$ et $\overline{C}$ sont deux événements contraires de probabilités non nulles donc peut donc utiliser la formule de probabilité totales :  
        
        $P(B) = p(B\cap C)+p\left(B\cap\overline{C}\right) =  = P(C) \times P_C(B) + P\left(\overline{C}\right) \times P_{\overline{C}}(B)= 0.3 \times 0.2 + 0 = 0.06$.
        \item $P(\text{reste sur la cible}) = P\left(C\cap\overline{B}\right)= p(C) \times P_C\left(\overline{V}\right) = 0.3 \times 0.8 = 0.24$.
    \end{enumerate}
    \item La variable aléatoire $G$ peut prendre trois valeurs : $-0.6$ (si la bille rate la cible), $0$ (si la bille reste sur la cible) et $g-0,6$ (si la bille est avalée). La loi de probabilité de $G$ est donc :
        \begin{center}
            \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
            \hline
            $g_i$ & $-0.6$ & $0$ & $g-0,6$ \\
            \hline
            $P(G=g_i)$ & $0.7$ & $0.24$ & $0.06$ \\
            \hline
            \end{tabular}
        \end{center}
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item L'espérance de $G$ est donnée par  :

$E(G) = \sum_{i} g_i \times P(g_i) = -0.6 \times 0.7 + 0 \times 0.24 + (g-0,6) \times 0.06 = 0.06g - 0.456$.
        \item Les organisateurs peuvent espérer un bénéfice si l'espérance de $G$ est négative (car $G$ est le gain d'un joueur, donc la perte de l'organisateur), c'est-à-dire si $0.06g - 0.456 < 0$. En résolvant cette inégalité, on trouve que $g < \frac{0,546}{0.06} = 7,6$. Donc, les organisateurs peuvent espérer un bénéfice si la valeur du lot est inférieure à $7,6$€.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

L'arbre de probabilité est laissé à votre soin.
On actionne le bouton.
La variable aléatoire $G$ peut prendre trois valeurs : $-0.6$ (si la bille rate la cible), $0$ (si la bille reste sur la cible) et $g-0,6$ (si la bille est avalée). La loi de probabilité de $G$ est donc :
[ Tableau - non rendu en aperçu ]

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (2)

Année	Fichier	Barème
2023-2024	`DS\23-24\23-24-1spe-DS6.tex`	8 pts
2022-2023	`DS\22-23\22-23-1spe-DS7.tex`	7 pts