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On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $ _f$ d'une fonc...

corrigé

Énoncé

% LLS ex 93
On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $I=[0 ;25]$ par $f(x)=(ax+b)e^{-0,2x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On a représenté également sa tangente $T$ au point $A(0 ;7)$.

$T$ passe par le point $B(2 ;14,2)$.

\newrgbcolor{cqcqcq}{0.7529411764705882 0.7529411764705882 0.7529411764705882}
\newrgbcolor{srsrsr}{0.12941176470588237 0.12941176470588237 0.12941176470588237}
\newrgbcolor{yyyyyy}{0.5333333333333333 0.5333333333333333 0.5333333333333333}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.3cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{center}
    \begin{pspicture*}(-3.,-2.)(27.,17.)
        \multips(0,-2)(0,2.0){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(27.,0)}
        \multips(-2,0)(2.0,0){16}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,17.)}
        \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-2.)(27.,17.)
        \psplot[linewidth=2.pt,linecolor=srsrsr,plotpoints=200]{-3.0}{27.0}{(5.0*x+7.0)*EXP(-0.2*x)}
        \psplot[linewidth=2.pt]{-3.}{27.}{(--7.--3.6*x)/1.}
        
        \rput[bl](12,6.5){\srsrsr{$\mathscr{C}_f$}}
        \rput[bl](3,16){T}
        \psdots[dotstyle=+,linecolor=yyyyyy](0.,7.)
        \rput[bl](0.8024219598356015,6.780700186914887){$A$}
        \psdots[dotstyle=+,linecolor=yyyyyy](2.,14.2)
        \rput[bl](0.9240010446591778,14.480708892408055){$B$}
    \end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=6$.
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item Par lecture graphique, donner $f(0)$.
        \item Écrire $f(0)$ en fonction de $a$ et $b$.
        \item En déduire que sur $I$, $f(x)=(ax+7)e^{-0,2x}$
    \end{enumerate}
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item  Quel est le coefficient directeur de la droite $T$ ?
        \item Exprimer, pour tout $x\in I$, $f'(x)$ en fonction de $a$.
        \item En déduire que, pour tout $x\in I$, $f(x)=(5x+7)e^{-0,2x}$
    \end{enumerate}
    \item On souhaite connaître le maximum de la fonction $f$ sur $I$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que, pour tout $x\in I$, $f'(x)=(-x+3,6)e^{0,2x}$
        \item Étudier le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$ sur $I$.
        \item En déduire le maximum de $f$ sur $I$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $I=[0 ;25]$ par $f(x)=(ax+b)e^{-0,2x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On a représenté également sa tangente $T$ au point $A(0 ;7)$.

$T$ passe par le point $B(2 ;14,2)$.

(-3.,-2.)(27.,17.) \multips(0,-2)(0,2.0){10}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(27.,0)} \multips(-2,0)(2.0,0){16}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-2.)(0,17.)} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-2.)(27.,17.) \psplot[linewidth=2.pt,linecolor=srsrsr,plotpoints=200]{-3.0}{27.0}{(5.0*x+7.0)*EXP(-0.2*x)} \psplot[linewidth=2.pt]{-3.}{27.}{(–7.–3.6*x)/1.}

\rput[bl](12,6.5){\srsrsr{$\mathscr{C}_f$}} \rput[bl](3,16){T} \psdots[dotstyle=+,linecolor=yyyyyy](0.,7.) \rput[bl](0.8024219598356015,6.780700186914887){$A$} \psdots[dotstyle=+,linecolor=yyyyyy](2.,14.2) \rput[bl](0.9240010446591778,14.480708892408055){$B$}

Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=6$.
On souhaite connaître le maximum de la fonction $f$ sur $I$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item On lit $S = \{12\}$
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item $f(0)=7$
            \item $f(0)=b$
            \item On en déduit que $b=7$ donc que $f(x)=(ax+7)e^{-0,2x}$
        \end{enumerate}
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Le coefficient directeur est : $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{14,2-7}{2-0}=3,6$
            \item $e^{-0,2x}$ est de la forme $g(ax+b)$ avec 
            \begin{cases}
                a = -0,2 \\
                b= 0 \\
                g(x)= e^x
            \end{cases} donc $g'(x) = e^x$ ainsi $\left(e^{-0,2x}\right)'=ag'(ax+b)=-0,2e^{-0,2x}$

On remarque alors que $f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = ax+7}{v = e^{-0,2x}}$ donc $\sys{u'=a}{v' = -0,2e^{-0,2x}}$ ainsi $f'(x)=u'v+uv'=ae^{-0,2x}+(ax+7)\times(-0,2)e^{-0,2x}=e^{-0,2x}(a-0,2ax-1,4)$
            \item Or nous savons que le coefficient directeur de la tangente en $0$ à la courbe représentant la fonction $f$ est $f'(0) = e^{-0,2\times0}(a-0,28a\times0-1,4=a-1,4$. Par ailleurs nous savons que ce coefficient directeur vaut $3,6$. On en déduit que $a=5$ et que $f(x)=(5x+7)e^{-0,2x}$
        \end{enumerate}
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item d'après la question précédente, en remplaçant $a$ par $5$ on obtient $f'(x)=(-x+3,6)e^{0,2x}$
            \item Le signe de $f'(x)$ est le même que celui de $-x+3,6$ car $e^{-0,2x}$ est toujours positif. Donc $f'(x) > 0$ si $x < 3,6$ et $f'(x) < 0$ si $x > 3,6$. Le tableau de variation de $f$ est donc :

\begin{tablvar}{2}
        \hline
        x                               & 0 &   & 3,6 &   & 25   \\
        \hline
        \mbox{Signe de }-x+3,6          &   & + &\barre[0]  & - &       \\
        \hline
        \mbox{Signe de } e^{-0,2x}      &   & + &\barre     & + &       \\
        \hline
        \mbox{Signe de }f'(x)           &   & + &\barre[0]  & - &       \\
        \hline
        \variations{ \mil{\mbox{Variation de }f} &\bas{7} && \haut{25e^{-0,72}} && \bas{132e^{-5}} }
        \hline
    \end{tablvar}

\item Le maximum de $f$ sur $I$ est atteint pour $x = 3,6$ et sa valeur est $25e^{-0,72}\approx 12,17$.

\end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
\end{varwidth}

Correction

On lit $S = \{12\}$

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (2)

Année	Fichier	Barème
2023-2024	`DS\23-24\23-24-1spe-DS6.tex`	12 pts
2022-2023	`DS\22-23\22-23-1spe-DS7.tex`	6 pts