EX_0257 – Le gazon d'un champ de $ $ m² est...

Énoncé

Le gazon d'un champ de $\np{5000}$ m² est envahi par des pissenlits qui détruisent 20\% de la surface en un an. Chaque automne, Catherine arrache $\np{250}$ m² de pissenlits afin de semer de la pelouse. On pose $p_0 =5000$ la surface initiale en m² de pelouse et $p_n$ la surface à la fin de $n$ années où $n\in\N$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la surface de pelouse au bout d'une et de deux années.
        \item Exprimer, pour tout $n\in\N$, $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
        \item On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $v$ par $v_n=p_n-\np{1250}$.
        \begin{enumerate}
            \item Démontrer que la suite $v$ est géométrique. Indiquer sa raison et son premier terme.
            \item Donner l'expression du terme général $v_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\N$.
            \item En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\N$.
        \end{enumerate}
        \item Quel est le sens de variation de la suite $p$ ?
        \item Quelle sera l'aire de gazon sans pissenlit au bout de $10$ ans ?
        \item Dans combien d'années la surface de gazon sans pissenlit sera-t-elle inférieure à $\np{1000}$ m² ? Justifier.
    \end{enumerate}

Calculer la surface de pelouse au bout d'une et de deux années.
Exprimer, pour tout $n\in\N$, $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $v$ par $v_n=p_n-\np{1250}$.
Quel est le sens de variation de la suite $p$ ?
Quelle sera l'aire de gazon sans pissenlit au bout de $10$ ans ?
Dans combien d'années la surface de gazon sans pissenlit sera-t-elle inférieure à $\np{1000}$ m² ? Justifier.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item Chaque année, 20\% de la surface précédente est perdue, il en reste donc $80\%$ auxquels s'ajoutent les $\np{250}$ m² sauvés par Catherine. Ainsi :
        \begin{itemize}
            \item Au bout d'une année la surface est de : $\np{5000}\times0,8+250 = \np{4250}$ m²
            \item Au bout de deux années la surface est de : $\np{4250}\times0,8+250=\np{3650}$ m²
        \end{itemize}
        \item En poursuivant le raisonnement précédent, on en déduit que pour tout $n\in\N$ : $p_{n+1}=0,8p_n+250$
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item $v_n=p_n-\np{1250}$ donc $p_n=v_n+\np{1250}$ Ainsi :\\
            $v_{n+1}=p_{n+1}-\np{1250}=0,8p_n+250-\np{1250}=0,8(v_n+\np{1250})-\np{1000}=0,8v_n+\np{1000}-\np{1000}=0,8v_n$\\
            Ainsi la suite $v$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=p_0-\np{1250}=3750$
            \item Ainsi, pour tout $n\in\N$ : $v_n=v_0q^n$ donc $v_n=3750\times0,8^n$
            \item Donc, pour tout $n\in\N$ : $p_n=v_n+\np{1250}=3750\times0,8^n+\np{1250}$
        \end{enumerate}
        \item $v$ est géométrique de raison $0<q<1$ et de premier terme positif. Ainsi $v$ est décroissante. Comme $p_n=v_n+\np{1250}$ alors $p$ est décroissante également.
        \item Celle-ci correspond à $p_{10}=3750\times0,8^{10}+\np{1250}=\np{1652,6}$ m²
        \item Jamais ! La suite $v$ est positive donc pour tout $n\in\N$ on a $v_n>0$ ainsi $v_n+\np{1250} > \np{1250}$ soit $p_n > \np{1250}$
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

Chaque année, 20\% de la surface précédente est perdue, il en reste donc $80\%$ auxquels s'ajoutent les $\np{250}$ m² sauvés par Catherine. Ainsi :
En poursuivant le raisonnement précédent, on en déduit que pour tout $n\in\N$ : $p_{n+1}=0,8p_n+250$
$v$ est géométrique de raison $0
Celle-ci correspond à $p_{10}=3750\times0,8^{10}+\np{1250}=\np{1652,6}$ m²
Jamais ! La suite $v$ est positive donc pour tout $n\in\N$ on a $v_n>0$ ainsi $v_n+\np{1250} > \np{1250}$ soit $p_n > \np{1250}$