Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvais réponse retire $0.25$ point, l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Si le total de l'exercice est négatif, il est ramené à zéro.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. La forme canonique de $f(x)=2 x^{2}-2 x-12$ est:
   
   [ Tableau - non rendu en aperçu ]
   
   
2. L'équation $(\mathrm{E})$ : $\left(3 x^{2}-12 x+12\right)(x-2)=0$, admet :
   
   [ Tableau - non rendu en aperçu ]
3. L'inéquation : $x^{2}-5 x-6<0$ a comme ensemble solution :
   
   [ Tableau - non rendu en aperçu ]
4. Soit la courbe $\mathscr{C}_{f}$ suivante représentant la fonction $f$ telle que $f(x)=a x^{2}+b x+c$.
   Soit $\Delta$ le discriminant de $f(x)$.
   Laquelle de ces propositions est vraie :
   
   [ Tableau - non rendu en aperçu ]
5. On considère l'équation $\left(\mathrm{E}_{m}\right): x^{2}-(2 m+3) x+m^{2}=0$.
   $\left(\mathrm{E}_{m}\right)$ admet une solution double si :
   
   [ Tableau - non rendu en aperçu ]

Correction

1. Réponse b). $f(x)=2x^2-2x-12=2\left(x^2-x\right)-12=2\left(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\right)-12=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}-12=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}$. Or $-\dfrac{25}{2}=-\dfrac{50}{4}$, ce qui ne correspond pas à la proposition c). En revanche $f(x)=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}$ correspond à la proposition c) et non à b). Reprenons : la forme canonique de $f$ est $2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}$, c'est donc la réponse c).
2. Réponse b). $\left(3x^2-12x+12\right)(x-2)=0 \Leftrightarrow 3x^2-12x+12=0$ ou $x-2=0$. Pour $3x^2-12x+12=0$ : $\Delta=144-144=0$ ainsi le polynôme admet une racine double $x_0=\dfrac{12}{6}=2$. L'autre facteur s'annule aussi en $x=2$. L'équation $(E)$ admet donc une seule solution $x=2$. Réponse c).
3. Réponse c). $\Delta=25+24=49>0$ ainsi le polynôme $x^2-5x-6$ admet deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{5-7}{2}=-1$ et $x_2=\dfrac{5+7}{2}=6$. Comme $a=1>0$, le polynôme est négatif entre ses racines. L'ensemble solution est $]-1\,;6[$.
4. Réponse d). La courbe est une parabole tournée vers le haut donc $a>0$. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts donc $\Delta>0$. La courbe coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée négative donc $c=f(0)<0$. Ainsi $c$ et $\Delta$ sont de signes opposés : $c<0$ et $\Delta>0$. Aucune des propositions « même signe » ne convient pour $c$ et $\Delta$. Mais $a$ et $\Delta$ ont même signe (tous deux positifs) : réponse c).
5. Réponse b). L'équation $x^2-(2m+3)x+m^2=0$ admet une solution double si et seulement si $\Delta=0$. Or $\Delta=(2m+3)^2-4m^2=4m^2+12m+9-4m^2=12m+9$. Ainsi $\Delta=0 \Leftrightarrow 12m+9=0 \Leftrightarrow m=-\dfrac{9}{12}=-\dfrac{3}{4}$.