EX_0259 – On considère les fonctions $f$ et...

Énoncé

On considère les fonctions $f$ et $g$, de courbes représentatives $\mathsrc{C}_f$ et $\mathsrc{C}_g$, définie sur $\R$ par : $f(x)=-3x^2+4x+1$ et $g(x)=x^2-2x+1$
Déterminer la position relative des courbes $\mathsrc{C}_f$ et $\mathsrc{C}_g$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    Il s'agit d'étudier le signe de $f(x)-g(x)$.\\
    $f(x)-g(x)=-3x^2+4x+1-\left(x^2-2x+1\right)=-3x^2+4x+1-x^2+2x-1=-4x^2+6x$.\\
    On factorise : $f(x)-g(x)=-4x^2+6x=2x(-2x+3)$. Cette expression s'annule pour $x=0$ et $x=\dfrac{3}{2}$. On en déduit le tableau de signes :
    \begin{center}
        \begin{tablvar}[0.1\textwidth]{3}
            \hline
            x                            & -\infty &   & 0         &   & \dfrac{3}{2} &   & +\infty \\
            \hline
            \mbox{Signe de }2x           &         & - & \barre[0] & + & \barre       & + &         \\
            \hline
            \mbox{Signe de }-2x+3        &         & + & \barre    & + & \barre[0]    & - &         \\
            \hline
            \mbox{Signe de }f(x)-g(x)    &         & - & \barre[0] & + & \barre[0]    & - &         \\
            \hline
        \end{tablvar}
    \end{center}
    On en déduit que :
    \begin{itemize}
        \item sur $\left]-\infty\,;0\right[\cup\left]\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[$, $f(x)-g(x)<0$ donc $\mathscr{C}_f$ est en dessous de $\mathscr{C}_g$ ;
        \item sur $\left]0\,;\dfrac{3}{2}\right[$, $f(x)-g(x)>0$ donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ ;
        \item $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $\dfrac{3}{2}$.
    \end{itemize}
\end{varwidth}

Correction

Il s'agit d'étudier le signe de $f(x)-g(x)$.
$f(x)-g(x)=-3x^2+4x+1-\left(x^2-2x+1\right)=-3x^2+4x+1-x^2+2x-1=-4x^2+6x$.
On factorise : $f(x)-g(x)=-4x^2+6x=2x(-2x+3)$. Cette expression s'annule pour $x=0$ et $x=\dfrac{3}{2}$. On en déduit le tableau de signes :

[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

On en déduit que :

sur $\left]-\infty\,;0\right[\cup\left]\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[$, $f(x)-g(x)<0$ donc $\mathscr{C}_f$ est en dessous de $\mathscr{C}_g$ ;
sur $\left]0\,;\dfrac{3}{2}\right[$, $f(x)-g(x)>0$ donc $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ ;
$\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ se coupent aux points d'abscisses $0$ et $\dfrac{3}{2}$.