EX_0262 – Une société agro-alimentaire...

Énoncé

Une société agro-alimentaire fabrique des aliments pour bétail. La production minimale est de $10$ tonnes. On s'intéresse au bénéfice réalisé, en milliers d'euros, correspondant à la production d'une quantité de $q$ dizaines de tonnes d'aliments. On admet que ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ donnée par : $B(q)=10-\dfrac{e^{0,2q+1}}{q}$

Sur quel intervalle $I$ est définie $B$ ?
Quel est le montant en euro du bénéfice maximal que peut dégager la société ?

Pour quelle quantité d'aliments ce bénéfice maximal est-il obtenu ?

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item La production minimale est de $10$ tonnes, soit $1$ dizaine de tonnes. Comme $B(q)$ contient un quotient par $q$, on a $q\neq 0$. Ainsi $B$ est définie sur $I=[1\,;+\infty[$.
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item $B(q)=10-\dfrac{e^{0,2q+1}}{q}$. La dérivée de $\dfrac{u}{v}$ est $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u=e^{0,2q+1}\\v=q\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'=0,2e^{0,2q+1}\\v'=1\end{cases}$.\\
            Ainsi $\left(\dfrac{e^{0,2q+1}}{q}\right)'=\dfrac{0,2e^{0,2q+1}\times q-e^{0,2q+1}\times 1}{q^2}=\dfrac{e^{0,2q+1}(0,2q-1)}{q^2}$.\\
            D'où $B'(q)=-\dfrac{e^{0,2q+1}(0,2q-1)}{q^2}=\dfrac{(1-0,2q)e^{0,2q+1}}{q^2}$.
            \item Sur $I$, $q^2>0$ et $e^{0,2q+1}>0$. Ainsi $B'(q)$ est du signe de $1-0,2q$. Or $1-0,2q=0 \Leftrightarrow q=5$ et $1-0,2q>0 \Leftrightarrow q<5$. Comme $I=[1\,;+\infty[$, on a $B'(q)>0$ sur $[1\,;5[$ et $B'(q)<0$ sur $]5\,;+\infty[$, $B'(q)$ s'annulant en $q=5$.
            \item On en déduit le tableau de variations de $B$ :
            \begin{center}
                \begin{tablvar}[2.5cm]{2}
                    \hline
                    q                          & 1 &   & 5         &   & +\infty \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }1-0,2q     &   & + & \barre[0] & - &         \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }e^{0,2q+1} &   & + & \barre    & + &         \\
                    \hline
                    \mbox{Signe de }B'(q)      &   & + & \barre[0] & - &         \\
                    \hline
                    \variations{ \mil{\mbox{Variation de }B} &\bas{10-e^{1,2}} && \haut{10-\dfrac{e^2}{5}} && \bas{} }
                    \hline
                \end{tablvar}
            \end{center}
        \end{enumerate}
        \item Le bénéfice maximal est atteint pour $q=5$ (dizaines de tonnes), soit $50$ tonnes d'aliments. Sa valeur est $B(5)=10-\dfrac{e^{0,2\times 5+1}}{5}=10-\dfrac{e^2}{5}\approx 8,52$ (milliers d'euros).\\
        Le bénéfice maximal est d'environ $\np{8522}$€, obtenu pour une production de $50$ tonnes d'aliments.
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

La production minimale est de $10$ tonnes, soit $1$ dizaine de tonnes. Comme $B(q)$ contient un quotient par $q$, on a $q\neq 0$. Ainsi $B$ est définie sur $I=[1\,;+\infty[$.
Le bénéfice maximal est atteint pour $q=5$ (dizaines de tonnes), soit $50$ tonnes d'aliments. Sa valeur est $B(5)=10-\dfrac{e^{0,2\times 5+1}}{5}=10-\dfrac{e^2}{5}\approx 8,52$ (milliers d'euros).
Le bénéfice maximal est d'environ $\np{8522}$€, obtenu pour une production de $50$ tonnes d'aliments.

Année	Fichier	Barème
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2022-2023	`DS\22-23\22-23-1spe-Rattrapage-S2.tex`	5 pts