Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=]-\infty ; 1[\cup ]1; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}$. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\vect{i},\vect{j}\right)$.

1. Montrer que, pour tout $x\in D_f,\,f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$
2. Soit $(d)$ la droite d'équation $y=-x+3$. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $(d)$
3. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D_f$. Montrer que pour tout $x\in D_f,\,f'(x)=\dfrac{-(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$
4. Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition.
5. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
6. Peut-on trouver une tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(d)$?

Correction

1. Pour tout $x\in D_f$ : $-x+3-\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{(-x+3)(x-1)-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+x+3x-3-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}=f(x)$.
2. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $(d)$ revient à étudier le signe de $f(x)-(-x+3)=-\dfrac{4}{x-1}$. Le numérateur $-4$ est négatif, donc le signe est l'opposé de celui de $x-1$ :
3. $f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$. La dérivée de $\dfrac{1}{x-1}$ est $-\dfrac{1}{(x-1)^2}$, ainsi $f'(x)=-1-4\times\left(-\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)=-1+\dfrac{4}{(x-1)^2}=\dfrac{-(x-1)^2+4}{(x-1)^2}=\dfrac{-(x^2-2x+1)+4}{(x-1)^2}=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}$.
   Or $-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)$ : en effet $-(x+1)(x-3)=-(x^2-3x+x-3)=-(x^2-2x-3)=-x^2+2x+3$. Ainsi $f'(x)=\dfrac{-(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$.
4. $(x-1)^2>0$ sur $D_f$, ainsi $f'(x)$ est du signe de $-(x+1)(x-3)$. On dresse le tableau de signes et de variations :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   où $f(-1)=\dfrac{-1-4-7}{-2}=\dfrac{-12}{-2}=6$ et $f(3)=\dfrac{-9+12-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$.
   La valeur $x=1$ est une valeur interdite (donc une double barre dans le tableau).

5. L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a=2$ est $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
   $f(2)=\dfrac{-4+8-7}{1}=-3$ et $f'(2)=\dfrac{-(2+1)(2-3)}{(2-1)^2}=\dfrac{-3\times(-1)}{1}=3$.
   L'équation de la tangente est $y=3(x-2)-3=3x-9$.
6. Une tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à $(d)$ si et seulement si son coefficient directeur est égal à celui de $(d)$, soit $f'(x)=-1$.
   $f'(x)=-1 \Leftrightarrow \dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}=-1 \Leftrightarrow -x^2+2x+3=-(x-1)^2=-x^2+2x-1 \Leftrightarrow 3=-1$.
   Cette équation n'a pas de solution. Aucune tangente à $\mathscr{C}_f$ n'est parallèle à $(d)$.