On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x)=(2x+1)e^x\] On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. Montrer que pour tout réel $x$, on a : \[f'(x)=(2x+3)e^x\]
3. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes parallèles à l'axe des abscisses ?

Correction

1. $f$ est de la forme $uv$ avec $\sys{u = 2x+1}{v = e^x}$ donc $\sys{u'=2}{v'=e^x}$ Ainsi pour tout réel $x$, on a :

   $f'(x)= u'v+uv' = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x$

3. La courbe $\mathcal{C}$ admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points où $f'(x) = 0$, c'est-à-dire pour $x = -\frac{3}{2}$.