EX_0285 – On considère le cercle trigonométrique $ $

Énoncé

On considère le cercle trigonométrique $\mathscr{C}$.

Soit $A$ le point de $\mathscr{C}$ tel que $\widehat{IOA}=36\deg$ dans le sens direct.
Placer sur $\mathscr{C}$ le point $B$ associé au réel $b=-\dfrac{5\pi}{12}$.
Soit $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin{(a)}=\dfrac{4}{5}$. Calculer la valeur exacte de $\cos{(a)}$.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item \begin{enumerate}
                \item On utilise le rapporteur pour placer le point $A$
                \item On cherche une mesure en radian de l'angle : $36\deg = \dfrac{36}{180}\pi=\dfrac{\pi}{5}\text{ rad}$. Comme $\dfrac{\pi}{5}\in\left[0;2\pi\right[$ on en déduit que $a=\dfrac{\pi}{5}$
            \end{enumerate}
            \item On cherche une mesure de l'angle en degré : $\dfrac{5\pi}{12}\text{ rad}=\dfrac{5\pi}{12}\times\dfrac{180}{\pi}=75\deg$
        
        Il reste à placer $A$ et $B$ sur $\mathscr{C}$ en prenant soin de tourner dans le sens direct pour $A$ et dans le sens indirect pour $B$:
        \begin{center}
            \begin{cercleTrigo}[50]
                    \newPoint{36}[A]
                    %\arc{36}
                    \pstLineAB{O}{M}
                    \pstArcOAB[linewidth=2\pslinewidth,arrows=->]{O}{I}{M}
                    \pstMarkAngle[LabelSep=0.4,  MarkAngleRadius = 0.6]{I}{O}{M}{$36\deg$}
                    \newPoint{-75}[B]
                    % \arc{-75}
                    \pstLineAB{O}{M}
                    \pstArcOAB[linewidth=2\pslinewidth,arrows=<-]{O}{M}{I}
                    \pstMarkAngle[LabelSep=0.4,  MarkAngleRadius = 0.5]{M}{O}{I}{$75\deg$}
            \end{cercleTrigo}
        \end{center}
        \item On sait que : 
            \begin{flalign*}
                                    &\left(\cos(a)\right)^2+\left(\sin(a)\right)^2=1 &\\ 
                    \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1 &\\
                    \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\dfrac{16}{25}=1 &\\
                    \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=1-\dfrac{16}{25} &\\
                    \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=\dfrac{9}{25} &\\
            \end{flalign*}
            On en déduit que :
            
            $\cos(a)=\sqrt{\dfrac{9}{25}}\text{ ou }\cos(a)=-\sqrt{\dfrac{9}{25}} \Leftrightarrow \cos(a)=\dfrac{3}{5}\text{ ou }\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$
            
            Or nous savons que $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ donc $\cos(a)<0 $ donc $\cos(a)\neq\dfrac{3}{5}$ on en déduit que $\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$.
        \end{enumerate}
        
        \end{varwidth}

Correction

On cherche une mesure de l'angle en degré : $\dfrac{5\pi}{12}\text{ rad}=\dfrac{5\pi}{12}\times\dfrac{180}{\pi}=75\deg$
Il reste à placer $A$ et $B$ sur $\mathscr{C}$ en prenant soin de tourner dans le sens direct pour $A$ et dans le sens indirect pour $B$:

[50] \newPoint{36}[A]

\pstLineAB{O}{M} \pstArcOAB[linewidth=2\pslinewidth,arrows=->]{O}{I}{M} \pstMarkAngle[LabelSep=0.4, MarkAngleRadius = 0.6]{I}{O}{M}{$36\deg$} \newPoint{-75}[B]

\pstLineAB{O}{M} \pstArcOAB[linewidth=2\pslinewidth,arrows=<-]{O}{M}{I} \pstMarkAngle[LabelSep=0.4, MarkAngleRadius = 0.5]{M}{O}{I}{$75\deg$}
On sait que : \[\begin{aligned}\left(\cos(a)\right)^2+\left(\sin(a)\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2+\dfrac{16}{25}=1\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=1-\dfrac{16}{25}\\ \Leftrightarrow &\left(\cos(a)\right)^2=\dfrac{9}{25}\\ \end{aligned}\] On en déduit que :

$\cos(a)=\sqrt{\dfrac{9}{25}}\text{ ou }\cos(a)=-\sqrt{\dfrac{9}{25}} \Leftrightarrow \cos(a)=\dfrac{3}{5}\text{ ou }\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$

Or nous savons que $a\in\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right[$ donc $\cos(a)<0 $ donc $\cos(a)\neq\dfrac{3}{5}$ on en déduit que $\cos(a)=-\dfrac{3}{5}$.