ABCD est un carré de côté \( a \) et le triangle DCE est équilatéral.

1. Calculer \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DE} \) et \( \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DE} \) en fonction de \( a \). En déduire \( \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DE} \).
2. En notant que \( \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} \), exprimer \( BE^2 \) puis \( BE \) en fonction de \( a \).

Correction

1. $ABCD$ est un carré donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ et $DCE$ est équilatéral donc $\widehat{CDE}=\dfrac{\pi}{3}$ ainsi :
   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{DE}=DC\times DE\times \cos(\widehat{CDE})=a^2\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{a^2}{2}$
   $\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DE}=DA\times DE\cos(\widehat{ADE})=a^2\cos\left\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)=a^2\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$
   $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DE}=\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right).\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DE}=-\dfrac{a^\sqrt{3}}{2}+\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^2(1-\sqrt{3})}{2}$
2. \[\begin{aligned} BE^2=\overrightarrow{BE}.\overrightarrow{BE} &=\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}\right).\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}\right)\\= \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{DE}\\= BD^2+DE^2-2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{DE}\\= BC^2+DC^2+a^2-2\times \dfrac{a^2(1-\sqrt{3})}{2}\\= 3a^2-a^2(1-\sqrt{3})\\= a^2\left(2+\sqrt{3}\right)\\ \end{aligned}\]

   $BE$ étant une longueur, on en déduit que $BE=\sqrt{a^2\left(2+\sqrt{3}\right)}=a\sqrt{2+\sqrt{3}}$