On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points $A(-4;10)$, $B(8;16)$, $C(8;-2)$, $H(2 ;10)$ et $K(5 ;7)$. (Voir figure ci-dessous)

1. Montrer que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0$ et que $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$
2. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?
3. Montrer que $K$ est le centre du cercle passant par les sommets du triangle $ABC$.

Correction

1. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=\vcoord{8+4}{16-10}.\vcoord{8-2}{-2-10}=\vcoord{12}{6}.\vcoord{6}{-12}=12\times6+6\times(-12)=0$
   $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=\vcoord{8+4}{-2-10}.\vcoord{8-2}{16-10}=\vcoord{12}{-12}.\vcoord{6}{6}=12\times6-12\times6=0$
2. $(HC)\perp(AB)$ donc $H$ appartient à la hauteur issue de $C$ et $(HB)\perp(AC)$ donc $H$ appartient aussi à la hauteur issue de $B$. Ainsi $H$ est à l'intersection de deux hauteur du triangle, c'est donc son orthocentre.
3. $KA = \sqrt{(-4-5)^2+(10-7)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$
   $KB = \sqrt{(8-5)^2+(16-7)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$
   $KC = \sqrt{(8-5)^2+(-2-7)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$
   Ainsi $KA=KB=KC$ donc $K$ est le centre du cercle passant par $A,\,B$ et $C$.