EX_0292 – Afin de soutenir une association...

Énoncé

Afin de soutenir une association humanitaire, la Maison des lycéens décide d'organiser une tombola dont les lots sont les suivants :
    \begin{itemize}
        \item $1$ téléviseur d'une valeur de $30$0€;
        \item $2$ appareils photo numériques d'une valeur unitaire de $130$ € ;
        \item $5$ enceintes Bluetooth d'une valeur unitaire de $25$ € ;
        \item $10$ montres d'une valeur unitaire de $15$ € ;
        \item $20$ gourdes d'une valeur unitaire de $5$ € ;
        \item $50$ porte-monnaies d'une valeur unitaire de $2$ € ;
        \item $100$ porte-clés d'une valeur unitaire de $1$ €.
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Sachant que le prix de vente d'un billet est de $2$ €, combien de billets au minimum faudra-t-il vendre pour réaliser un bénéfice au profit l'association ?
        \item Au total, $1300$ billets ont été vendus. Soit $X$ la variable aléatoire qui, au tirage au sort d'un billet, associe le gain algébrique du participant qui a acheté ce billet.
        \begin{enumerate}
            \item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
            \item Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}

Afin de soutenir une association humanitaire, la Maison des lycéens décide d'organiser une tombola dont les lots sont les suivants :

$1$ téléviseur d'une valeur de $30$0€;
$2$ appareils photo numériques d'une valeur unitaire de $130$ € ;
$5$ enceintes Bluetooth d'une valeur unitaire de $25$ € ;
$10$ montres d'une valeur unitaire de $15$ € ;
$20$ gourdes d'une valeur unitaire de $5$ € ;
$50$ porte-monnaies d'une valeur unitaire de $2$ € ;
$100$ porte-clés d'une valeur unitaire de $1$ €.

Sachant que le prix de vente d'un billet est de $2$ €, combien de billets au minimum faudra-t-il vendre pour réaliser un bénéfice au profit l'association ?
Au total, $1300$ billets ont été vendus. Soit $X$ la variable aléatoire qui, au tirage au sort d'un billet, associe le gain algébrique du participant qui a acheté ce billet.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item Le coût total des lots est donné par $1 \times 300 + 2 \times 130 + 5 \times 25 + 10 \times 15 + 20 \times 5 + 50 \times 2 + 100 \times 1 = 300 + 260 + 125 + 150 + 100 + 100 + 100 = 1135$ €. Le prix de vente d'un billet est de $2$ €, donc le nombre minimum de billets à vendre pour réaliser un bénéfice est $\dfrac{1135}{2} = 567,5$. Comme on ne peut pas vendre un nombre fractionnaire de billets, il faut arrondir à l'entier supérieur, soit $568$ billets.
            \item 
            \begin{enumerate}
                \item 
                \begin{center}
                    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
                    \hline
                    $x_i$ & $-2$ & $298$ & $128$ & $23$ & $13$ & $3$ & $0$ & $-1$ \\
                    \hline
                    $P(X=x_i)$ & $\frac{1300 - 188}{1300}$ & $\frac{1}{1300}$ & $\frac{2}{1300}$ & $\frac{5}{1300}$ & $\frac{10}{1300}$ & $\frac{20}{1300}$ & $\frac{50}{1300}$ & $\frac{100}{1300}$ \\
                    \hline
                    \end{tabular}
                \end{center}
                \item L'espérance de $X$ est donnée par 
                \begin{flalign*}
                    E(X)    &= \sum_{i} x_i \times P(x_i) \\
                            &= -2 \times \frac{1300 - 188}{1300} + 298 \times \frac{1}{1300} + 128 \times \frac{2}{1300} + 23 \times \frac{5}{1300} + 13 \times \frac{10}{1300} \\
                            &\quad + 3 \times \frac{20}{1300} + 0 \times \frac{50}{1300} + (-1) \times \frac{100}{1300} \\
                            &= -1.13
        \end{flalign*}

Le résultat donne l'espérance de gain pour un participant qui achète un billet.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
    \end{varwidth}

Correction

Le coût total des lots est donné par $1 \times 300 + 2 \times 130 + 5 \times 25 + 10 \times 15 + 20 \times 5 + 50 \times 2 + 100 \times 1 = 300 + 260 + 125 + 150 + 100 + 100 + 100 = 1135$ €. Le prix de vente d'un billet est de $2$ €, donc le nombre minimum de billets à vendre pour réaliser un bénéfice est $\dfrac{1135}{2} = 567,5$. Comme on ne peut pas vendre un nombre fractionnaire de billets, il faut arrondir à l'entier supérieur, soit $568$ billets.