EX_0293 – À la naissance de Lisa, sa...

Énoncé

À la naissance de Lisa, sa grand-mère a placé la somme de 5 000 euros sur un compte et cet argent est resté bloqué pendant 18 ans. Lisa retrouve dans les papiers de sa grand-mère l’offre de la banque :
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|}
            \hline
                \textbf{OFFRE} \\ \hline
                \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}Intérêts composés au taux annuel constant de $3\%$.\\ À la fin de chaque année le capital produit $3\%$ d’intérêts qui sont intégrés au capital.\end{tabular} \\ \hline
            \end{tabular}
    \end{center}
    On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $(u_n)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.\\
    On a ainsi $u_0=5000$.
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $u_1=5150$ et que $u_2=5304,5$
        \item \begin{enumerate}
            \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison et son premier terme.
            \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
        \end{enumerate}
        \item Calculer le capital acquis par Lisa à l’âge de 18 ans. Arrondir au centième.
        \item Si Lisa n’utilise pas le capital dès ses 18 ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera $10 000$ euros ?. Expliquer la démarche.
    \end{enumerate}

[ Tableau - non rendu en aperçu ]

On considère que l’évolution du capital acquis, en euro, peut être modélisée par une suite $(u_n)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est le capital acquis, en euro, $n$ années après la naissance de Lisa.
On a ainsi $u_0=5000$.

Montrer que $u_1=5150$ et que $u_2=5304,5$
Calculer le capital acquis par Lisa à l’âge de 18 ans. Arrondir au centième.
Si Lisa n’utilise pas le capital dès ses 18 ans, quel âge aura-t-elle quand celui-ci dépassera $10 000$ euros ?. Expliquer la démarche.

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item À la fin de la première année, le capital initial de $5000$\euro{} augmente de $3\%$, il est donc multiplié par $CM=1+t=1+0,03=1,03$. Ainsi $u_1=5000\times1,03=5150$\euro{}.\\
            À la fin de la deuxième année, le capital de l'année précédente qui est de $5150$\euro{} augmente de $3\%$, il est donc multiplié par $CM=1+t=1+0,03=1,03$. Ainsi $u_2=5150\times1,03=5304,5$\euro{}.
            \item \begin{enumerate}
                \item D'une année à la suite le capital augmente toujours de $3\%$, il est donc toujours multiplié par $1,03$. Ainsi, pour tout entier $n$ on a : $u_{n+1}=1,03u_n$. La suite $u$ est donc géométrique de raison $q=1,03$ et de premier terme $u_0=5000$.
                \item $un=u_0q^n=5000\times1,03^n$
            \end{enumerate}
            \item $u_{18}=5000\times1,03^{18}\approx 8512,17$\euro{}
            \item On peut faire un tableau de valeur à la calculatrice et remarquer que $u_{23}\approx=9868$ et que $u_{24}=10164$. Ainsi le capital acquis dépassera $10000$ euros lorsque Lisa aura 24 ans.
        \end{enumerate}
    \end{varwidth}

Correction

À la fin de la première année, le capital initial de $5000$\euro{} augmente de $3\%$, il est donc multiplié par $CM=1+t=1+0,03=1,03$. Ainsi $u_1=5000\times1,03=5150$\euro{}.
À la fin de la deuxième année, le capital de l'année précédente qui est de $5150$\euro{} augmente de $3\%$, il est donc multiplié par $CM=1+t=1+0,03=1,03$. Ainsi $u_2=5150\times1,03=5304,5$\euro{}.
$u_{18}=5000\times1,03^{18}\approx 8512,17$\euro{}
On peut faire un tableau de valeur à la calculatrice et remarquer que $u_{23}\approx=9868$ et que $u_{24}=10164$. Ainsi le capital acquis dépassera $10000$ euros lorsque Lisa aura 24 ans.