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Une région dispose de deux stations d'épuration, la station A et la station B

corrigé

Énoncé

Une région dispose de deux stations d'épuration, la station A et la station B.

La station A traite les trois-quarts des eaux usées de la région, tandis que la station B traite l'autre quart.

Les analyses d'eau peuvent révéler des polluants dépassant les normes admissibles. Une étude récente de contrôle de la qualité a montré que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 5\,\% de l'eau traitée par la station A contient des polluants dépassant les normes ;
\item[$\bullet~~$] 15\,\% de l'eau traitée par la station B contient des polluants dépassant les normes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Les eaux épurées des deux stations sont mélangées avant d'être redirigées vers les rivières et réservoirs.

On prélève un échantillon d'eau au hasard après traitement et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ : l'échantillon provient de la station A ;
\item[$\bullet~~$]$B$ : l'échantillon provient de la station B ;
\item[$\bullet~~$]$D$ : l'échantillon présente des polluants au-delà des normes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

L'évènement contraire de $D$ est noté $\overline{D}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après les données de l'énoncé, donner la valeur de la probabilité de l'événement $A$ que l'on notera $P(A)$.
\item Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}}
    {\TR{$D$}
    \TR{$\overline{D}$}
    }
\pstree{\TR{$\overline{A}$~~}}
    {\TR{$D$}
    \TR{$\overline{D}$} 
    }
}
\end{center}
\item Quelle est la probabilité qu'un échantillon contienne des polluants et provienne de la station A ?
\item Montrer que $P(D) = 0,075$.
\item Après analyse, l'échantillon se révèle contenir des polluants. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la station A ?
\item On effectue deux prélèvements d'eau au hasard après traitement. On suppose que la quantité d'eau est suffisamment grande pour associer ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note à chaque prélèvement si l'échantillon contient des polluants ou pas. On utilisera les notations suivantes :
        \begin{itemize}
            \item[$\bullet~~$]$D_1$ : le premier échantillon contient des polluants ;
            \item[$\bullet~~$]$D_2$ : le second échantillon contient des polluants ;
        \end{itemize}
        \begin{enumerate}
            \item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
            \item Calculer la probabilité d’avoir prélevé deux échantillons contenant des polluants.
            \item Calculer la probabilité d’avoir prélevé un seul échantillon contenant des polluants.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

Une région dispose de deux stations d'épuration, la station A et la station B.

La station A traite les trois-quarts des eaux usées de la région, tandis que la station B traite l'autre quart.

Les analyses d'eau peuvent révéler des polluants dépassant les normes admissibles. Une étude récente de contrôle de la qualité a montré que :

\setlength\parindent{9mm}

[$\bullet~~$] 5\,\% de l'eau traitée par la station A contient des polluants dépassant les normes ;
[$\bullet~~$] 15\,\% de l'eau traitée par la station B contient des polluants dépassant les normes.

\setlength\parindent{0mm}

Les eaux épurées des deux stations sont mélangées avant d'être redirigées vers les rivières et réservoirs.

On prélève un échantillon d'eau au hasard après traitement et on considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{9mm}

[$\bullet~~$]$A$ : l'échantillon provient de la station A ;
[$\bullet~~$]$B$ : l'échantillon provient de la station B ;
[$\bullet~~$]$D$ : l'échantillon présente des polluants au-delà des normes.

\setlength\parindent{0mm}

L'évènement contraire de $D$ est noté $\overline{D}$.

D'après les données de l'énoncé, donner la valeur de la probabilité de l'événement $A$ que l'on notera $P(A)$.
Compléter l'arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$ }} {\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$ }} {\TR{$D$} \TR{$\overline{D}$} } }
Quelle est la probabilité qu'un échantillon contienne des polluants et provienne de la station A ?
Montrer que $P(D) = 0,075$.
Après analyse, l'échantillon se révèle contenir des polluants. Quelle est la probabilité qu'il provienne de la station A ?
On effectue deux prélèvements d'eau au hasard après traitement. On suppose que la quantité d'eau est suffisamment grande pour associer ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note à chaque prélèvement si l'échantillon contient des polluants ou pas. On utilisera les notations suivantes :

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item La station A traite les trois-quarts des eaux usées, ainsi $P(A)=\dfrac{3}{4}=0,75$.
        \item L'arbre pondéré complet est :
        \begin{center}
            \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
            \pstree[treemode=R]{\Tp}
            {
                \pstree{\TR{$A$}^{0,75}}
                {
                    \TR{$D$}^{0,05}
                    \TR{$\overline{D}$}_{0,95}
                }
                \pstree{\TR{$\overline{A}$}_{0,25}}
                {
                    \TR{$D$}^{0,15}
                    \TR{$\overline{D}$}_{0,85}
                }
            }
        \end{center}
        \item Il s'agit de calculer $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0,75\times 0,05=0,0375$.
        \item D'après la formule des probabilités totales : $P(D)=P(A\cap D)+P(\overline{A}\cap D)=P(A)\times P_A(D)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(D)=0,75\times 0,05+0,25\times 0,15=0,0375+0,0375=0,075$.
        \item Il s'agit de calculer $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,0375}{0,075}=0,5$.
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Comme les tirages sont effectués avec remise, les deux prélèvements sont indépendants. La probabilité que chaque échantillon contienne des polluants est $P(D)=0,075$. L'arbre pondéré est :
            \begin{center}
                \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
                \pstree[treemode=R]{\Tp}
                {
                    \pstree{\TR{$D_1$}^{0,075}}
                    {
                        \TR{$D_2$}^{0,075}
                        \TR{$\overline{D_2}$}_{0,925}
                    }
                    \pstree{\TR{$\overline{D_1}$}_{0,925}}
                    {
                        \TR{$D_2$}^{0,075}
                        \TR{$\overline{D_2}$}_{0,925}
                    }
                }
            \end{center}
            \item Par indépendance : $P(D_1\cap D_2)=P(D_1)\times P(D_2)=0,075^2=\np{0.005625}$.
            \item L'événement « un seul échantillon contient des polluants » s'écrit $(D_1\cap\overline{D_2})\cup(\overline{D_1}\cap D_2)$. Ces deux événements sont incompatibles, ainsi sa probabilité est $P(D_1)\times P(\overline{D_2})+P(\overline{D_1})\times P(D_2)=0,075\times 0,925+0,925\times 0,075=2\times 0,075\times 0,925=\np{0.13875}$.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

La station A traite les trois-quarts des eaux usées, ainsi $P(A)=\dfrac{3}{4}=0,75$.
L'arbre pondéré complet est :
\psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$A$}^{0,75}} { \TR{$D$}^{0,05} \TR{$\overline{D}$}_{0,95} } \pstree{\TR{$\overline{A}$}_{0,25}} { \TR{$D$}^{0,15} \TR{$\overline{D}$}_{0,85} } }
Il s'agit de calculer $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0,75\times 0,05=0,0375$.
D'après la formule des probabilités totales : $P(D)=P(A\cap D)+P(\overline{A}\cap D)=P(A)\times P_A(D)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(D)=0,75\times 0,05+0,25\times 0,15=0,0375+0,0375=0,075$.
Il s'agit de calculer $P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,0375}{0,075}=0,5$.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (2)

Année	Fichier	Barème
2024-2025	`DS\24-25\24-25-1spe-Rattrapage-T3.tex`	6 pts
2023-2024	`DS\23-24\23-24-1spe-Rattrapage-T3.tex`	6 pts