Soit $f$ la fonction définie sur $D_f=]-\infty ; 1[\cup ]1; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}$. On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\vect{i},\vect{j}\right)$.

1. Montrer que, pour tout $x\in D_f,\,f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$
2. Soit $(d)$ la droite d'équation $y=-x+3$. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $(d)$
3. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $D_f$. Montrer que pour tout $x\in D_f,\,f'(x)=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}$
4. Étudier le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur son ensemble de définition.
5. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
6. Peut-on trouver une tangente à $\mathscr{C}_f$ parallèle à $(d)$?

Correction

1. Pour tout $x\in D_f$ : $-x+3-\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{(-x+3)(x-1)-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+x+3x-3-4}{x-1}=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}=f(x)$.
2. Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $(d)$ revient à étudier le signe de $f(x)-(-x+3)=-\dfrac{4}{x-1}$. Le numérateur $-4$ est négatif, donc le signe est l'opposé de celui de $x-1$ :
3. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u=-x^2+4x-7\\v=x-1\end{cases}$ donc $\begin{cases}u'=-2x+4\\v'=1\end{cases}$.
   Ainsi $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{(-2x+4)(x-1)-(-x^2+4x-7)\times 1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2x^2+2x+4x-4+x^2-4x+7}{(x-1)^2}=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}$.
4. $(x-1)^2>0$ sur $D_f$, ainsi $f'(x)$ est du signe de $-x^2+2x+3$. Cherchons les racines de ce polynôme : $\Delta=4+12=16>0$ ainsi il admet deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-2-4}{-2}=3$ et $x_2=\dfrac{-2+4}{-2}=-1$. Comme le coefficient dominant est $-1<0$, le polynôme est positif entre ses racines.
   On dresse le tableau de variations de $f$ :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   où $f(-1)=\dfrac{-1-4-7}{-2}=6$ et $f(3)=\dfrac{-9+12-7}{2}=-2$.

5. L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a=2$ est $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
   $f(2)=\dfrac{-4+8-7}{1}=-3$ et $f'(2)=\dfrac{-4+4+3}{1}=3$.
   L'équation de la tangente est $y=3(x-2)-3=3x-9$.
6. Une tangente à $\mathscr{C}_f$ est parallèle à $(d)$ si et seulement si son coefficient directeur est égal à celui de $(d)$, soit $f'(x)=-1$.
   $f'(x)=-1 \Leftrightarrow \dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}=-1 \Leftrightarrow -x^2+2x+3=-(x-1)^2=-x^2+2x-1 \Leftrightarrow 3=-1$.
   Cette équation n'a pas de solution. Aucune tangente à $\mathscr{C}_f$ n'est parallèle à $(d)$.