Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre $0$ et $25$ pièces.

Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur $[0\,;25]$ par : \[ C(x)=x^3-15x^2-300x+6000. \]

On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue $300$ euros.

1. Quelle est la recette (sommes totales perçues) pour $x$ pièces vendues ?
2. On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en euros. On rappelle que le bénéfice est égal aux recettes moins le montant des charges.
   Justifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\,;25]$ : \[ B(x)=-x^3+15x^2+600x-6000. \]
3. Calculer $B'(x)$ sur l’intervalle $[0\,;25]$.
4. Étudier le signe de $B'(x)$ sur l’intervalle $[0\,;25]$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $B$.
5. Combien l’entreprise doit-elle fabriquer de pièces quotidiennement pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?

Aides aux calculs : \[ 20^3=8000 \qquad \sqrt{8100}=90 \qquad 30^2=900 \]

Correction

1. Chaque pièce est vendue $300$€ et $x$ pièces sont vendues, ainsi la recette est $R(x)=300x$ euros.
2. Le bénéfice est égal à la recette moins le montant des charges : $B(x)=R(x)-C(x)=300x-\left(x^3-15x^2-300x+\np{6000}\right)=300x-x^3+15x^2+300x-\np{6000}=-x^3+15x^2+600x-\np{6000}$.
3. $B$ est une somme de fonctions de référence, ainsi $B'(x)=-3x^2+30x+600$.
4. Cherchons les racines de $B'(x)=-3x^2+30x+600$ : $\Delta=30^2-4\times(-3)\times 600=900+\np{7200}=\np{8100}$, et $\sqrt{\np{8100}}=90$.
   Ainsi $B'$ admet deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{-30+90}{-6}=-10$ et $x_2=\dfrac{-30-90}{-6}=20$.
   Comme le coefficient dominant est $-3<0$, $B'(x)$ est positif entre ses racines et négatif à l'extérieur. Sur l'intervalle $[0\,;25]$ qui contient $20$ et pas $-10$, on a $B'(x)\geq 0$ sur $[0\,;20]$ et $B'(x)\leq 0$ sur $[20\,;25]$.
   On en déduit le tableau de variations de $B$ :
   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]

   où $B(20)=-20^3+15\times 20^2+600\times 20-\np{6000}=-\np{8000}+\np{6000}+\np{12000}-\np{6000}=\np{4000}$
   et $B(25)=-25^3+15\times 25^2+600\times 25-\np{6000}=-\np{15625}+\np{9375}+\np{15000}-\np{6000}=\np{2750}$.

5. D'après le tableau, le maximum de $B$ sur $[0\,;25]$ est atteint pour $x=20$ et vaut $B(20)=\np{4000}$.
   L'entreprise doit fabriquer $20$ pièces quotidiennement pour réaliser un bénéfice maximal de $\np{4000}$€.