EX_0298 – – ma-db-exos

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(sans titre)

corrigé

Énoncé

% Une entreprise de livraison expédie des colis. Un colis peut être \textbf{fragile} (évènement $F$) ou non (évènement $\overline{F}$).
% À partir des données de contrôle qualité, on admet que :
% \begin{itemize}
%   \item $20\%$ des colis sont fragiles ;
%   \item parmi les colis fragiles, $10\%$ subissent un \textbf{choc} pendant le transport ;
%   \item parmi les colis non fragiles, $2\%$ subissent un \textbf{choc} pendant le transport.
% \end{itemize}

% On note $D$ l’évènement : « le colis a subi un choc ».

% \begin{enumerate}
%   \item Représenter la situation par un arbre pondéré de probabilités.

%   \item Calculer la probabilité qu’un colis choisi au hasard soit fragile et ait subi un choc.

%   \item Montrer que $P(D)=0,036$.

%   \item Un colis choisi au hasard a subi un choc. Calculer la probabilité qu’il soit fragile.
%   Donner la valeur exacte (fraction) puis une valeur décimale (éventuellement arrondie au centième).
%   Interpréter le résultat.

%   \item On contrôle deux colis successifs, choisis au hasard dans un très grand stock ; on assimile ce choix à un tirage \textbf{avec remise}.
%   On note :
%   \begin{itemize}
%     \item $D_1$ : « le premier colis a subi un choc » ;
%     \item $D_2$ : « le second colis a subi un choc ».
%   \end{itemize}
%   \begin{enumerate}
%     \item Construire un arbre pondéré traduisant cette nouvelle situation.
%     \item Calculer la probabilité que les deux colis aient subi un choc.
%     \item Calculer la probabilité qu’un seul des deux colis ait subi un choc.
%     \item Calculer la probabilité qu’au moins un des deux colis ait subi un choc.
%     \item Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.
%   \end{enumerate}
% \end{enumerate}

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item L'arbre pondéré est :
        \begin{center}
            \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
            \pstree[treemode=R]{\Tp}
            {
                \pstree{\TR{$F$}^{0,2}}
                {
                    \TR{$D$}^{0,1}
                    \TR{$\overline{D}$}_{0,9}
                }
                \pstree{\TR{$\overline{F}$}_{0,8}}
                {
                    \TR{$D$}^{0,02}
                    \TR{$\overline{D}$}_{0,98}
                }
            }
        \end{center}
        \item Il s'agit de calculer $P(F\cap D)=P(F)\times P_F(D)=0,2\times 0,1=0,02$.
        \item D'après la formule des probabilités totales : $P(D)=P(F\cap D)+P(\overline{F}\cap D)=P(F)\times P_F(D)+P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(D)=0,2\times 0,1+0,8\times 0,02=0,02+0,016=0,036$.
        \item Il s'agit de calculer $P_D(F)=\dfrac{P(F\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,02}{0,036}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}\approx 0,56$.\\
        Sachant qu'un colis a subi un choc, la probabilité qu'il soit fragile est d'environ $0,56$, ce qui signifie qu'un peu plus d'un colis sur deux ayant subi un choc est fragile.
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item Comme les tirages sont effectués avec remise, les deux prélèvements sont indépendants. La probabilité que chaque colis ait subi un choc est $P(D)=0,036$. L'arbre pondéré est :
            \begin{center}
                \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
                \pstree[treemode=R]{\Tp}
                {
                    \pstree{\TR{$D_1$}^{0,036}}
                    {
                        \TR{$D_2$}^{0,036}
                        \TR{$\overline{D_2}$}_{0,964}
                    }
                    \pstree{\TR{$\overline{D_1}$}_{0,964}}
                    {
                        \TR{$D_2$}^{0,036}
                        \TR{$\overline{D_2}$}_{0,964}
                    }
                }
            \end{center}
            \item Par indépendance : $P(D_1\cap D_2)=P(D_1)\times P(D_2)=0,036^2=\np{0.001296}$.
            \item L'événement « un seul colis a subi un choc » s'écrit $(D_1\cap\overline{D_2})\cup(\overline{D_1}\cap D_2)$. Ces deux événements sont incompatibles, ainsi sa probabilité est $P(D_1)\times P(\overline{D_2})+P(\overline{D_1})\times P(D_2)=2\times 0,036\times 0,964\approx \np{0.0694}$.
            \item « Au moins un colis a subi un choc » est l'événement contraire de « aucun des deux colis n'a subi de choc ». Or $P\left(\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\right)=0,964^2=\np{0.929296}$, ainsi $P(D_1\cup D_2)=1-\np{0.929296}=\np{0.070704}$.
            \item Par construction (tirage avec remise), $P_{D_1}(D_2)=P(D_2)=0,036$. Ainsi les événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L'arbre pondéré est :
\psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$F$}^{0,2}} { \TR{$D$}^{0,1} \TR{$\overline{D}$}_{0,9} } \pstree{\TR{$\overline{F}$}_{0,8}} { \TR{$D$}^{0,02} \TR{$\overline{D}$}_{0,98} } }
Il s'agit de calculer $P(F\cap D)=P(F)\times P_F(D)=0,2\times 0,1=0,02$.
D'après la formule des probabilités totales : $P(D)=P(F\cap D)+P(\overline{F}\cap D)=P(F)\times P_F(D)+P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(D)=0,2\times 0,1+0,8\times 0,02=0,02+0,016=0,036$.
Il s'agit de calculer $P_D(F)=\dfrac{P(F\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,02}{0,036}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9}\approx 0,56$.
Sachant qu'un colis a subi un choc, la probabilité qu'il soit fragile est d'environ $0,56$, ce qui signifie qu'un peu plus d'un colis sur deux ayant subi un choc est fragile.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2025-2026	`DS\25-26\25-26-1spe-BB.tex`	8 pts