EX_0299 – Une imprimerie fabrique des pour un salon

← EX_0299

Une imprimerie fabrique des pour un salon

corrigé

Énoncé

Une imprimerie fabrique des \textbf{cartes d’accès} pour un salon. Deux imprimantes sont utilisées :
\begin{itemize}
  \item l’imprimante A produit \textbf{un tiers} des cartes ;
  \item l’imprimante B produit \textbf{le reste} des cartes.
\end{itemize}

Une carte peut être \textbf{mal imprimée} (encre bavée, QR code illisible).  
On note $D$ l’évènement : « la carte est mal imprimée ».

On admet que :
\begin{itemize}
  \item parmi les cartes issues de A, \textbf{1 carte sur 20} est mal imprimée ;
  \item parmi les cartes issues de B, \textbf{3 cartes sur 20} sont mal imprimées.
\end{itemize}

Les cartes sont mélangées dans une grande caisse. On choisit une carte au hasard.

\begin{enumerate}
  \item Représenter la situation par un arbre pondéré.
  \item Calculer $P(B\cap D)$.  
  \item Calculer $P(D)$.
  \item Calculer la probabilité qu’une carte mal imprimée provienne de l’imprimante B.

\item
  La carte passe ensuite dans un \textbf{scanner} qui allume un voyant rouge lorsqu’il détecte un défaut.\\
  On note $S$ l’évènement : « le scanner allume le voyant rouge ».\\
  On admet que la probabilité que le scanner s'allume est de $\dfrac{9}{50}$

\medskip
  On prélève alors \textbf{deux cartes successivement} dans la caisse. Le nombre de cartes étant très grand, on assimile ce prélèvement à un tirage \textbf{avec remise}.
  On note $S_1$ l’évènement : « le scanner allume le voyant rouge pour la première carte » et $S_2$ l’évènement analogue pour la seconde carte.

\begin{enumerate}
    \item Construire un arbre pondéré traduisant cette nouvelle situation en justifiant.
    \item Calculer la probabilité que le scanner allume le voyant rouge deux fois.
    \item Calculer la probabilité que le scanner allume le voyant rouge \textbf{une seule fois} sur les deux cartes.
    \item Calculer la probabilité le scanner a allumé le voyant rouge au moins une fois.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Aide aux calculs :}
\[
41\times 41 =1681
\]

Une imprimerie fabrique des cartes d’accès pour un salon. Deux imprimantes sont utilisées :

l’imprimante A produit un tiers des cartes ;
l’imprimante B produit le reste des cartes.

Une carte peut être mal imprimée (encre bavée, QR code illisible). On note $D$ l’évènement : « la carte est mal imprimée ».

On admet que :

parmi les cartes issues de A, 1 carte sur 20 est mal imprimée ;
parmi les cartes issues de B, 3 cartes sur 20 sont mal imprimées.

Les cartes sont mélangées dans une grande caisse. On choisit une carte au hasard.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
Calculer $P(B\cap D)$.
Calculer $P(D)$.
Calculer la probabilité qu’une carte mal imprimée provienne de l’imprimante B.
La carte passe ensuite dans un scanner qui allume un voyant rouge lorsqu’il détecte un défaut.
On note $S$ l’évènement : « le scanner allume le voyant rouge ».
On admet que la probabilité que le scanner s'allume est de $\dfrac{9}{50}$

On prélève alors deux cartes successivement dans la caisse. Le nombre de cartes étant très grand, on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $S_1$ l’évènement : « le scanner allume le voyant rouge pour la première carte » et $S_2$ l’évènement analogue pour la seconde carte.

Aide aux calculs : \[ 41\times 41 =1681 \]

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
    \subsection*{Correction}
    \begin{enumerate}
        \item L'imprimante A produit un tiers des cartes donc $P(A)=\dfrac{1}{3}$ et $P(B)=\dfrac{2}{3}$. De plus $P_A(D)=\dfrac{1}{20}$ et $P_B(D)=\dfrac{3}{20}$. On en déduit l'arbre suivant :
        \begin{center}
            \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
            \pstree[treemode=R]{\Tp}
            {
                \pstree{\TR{$A$}^{\dfrac{1}{3}}}
                {
                    \TR{$D$}^{\dfrac{1}{20}}
                    \TR{$\overline{D}$}_{\dfrac{19}{20}}
                }
                \pstree{\TR{$B$}_{\dfrac{2}{3}}}
                {
                    \TR{$D$}^{\dfrac{3}{20}}
                    \TR{$\overline{D}$}_{\dfrac{17}{20}}
                }
            }
        \end{center}

\item $P(B\cap D)=P(B)\times P_B(D)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{20}=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$

\item $A$ et $B$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :\\
        $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{60}+\dfrac{6}{60}=\dfrac{7}{60}$

\item Il s'agit de calculer $P_D(B)$.\\
        $P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{60}}=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{60}{7}=\dfrac{6}{7}$\\
        Ainsi la probabilité qu'une carte mal imprimée provienne de l'imprimante B est de $\dfrac{6}{7}$.

\item
        \begin{enumerate}
            \item Le tirage étant assimilé à un tirage avec remise, les deux prélèvements sont indépendants. Ainsi $S_1$ et $S_2$ ont chacun pour probabilité $\dfrac{9}{50}$ et $P_{S_1}(S_2)=P(S_2)=\dfrac{9}{50}$. De même $P\left(\overline{S_2}\right)=1-\dfrac{9}{50}=\dfrac{41}{50}$. On en déduit l'arbre suivant :
            \begin{center}
                \psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm}
                \pstree[treemode=R]{\Tp}
                {
                    \pstree{\TR{$S_1$}^{\dfrac{9}{50}}}
                    {
                        \TR{$S_2$}^{\dfrac{9}{50}}
                        \TR{$\overline{S_2}$}_{\dfrac{41}{50}}
                    }
                    \pstree{\TR{$\overline{S_1}$}_{\dfrac{41}{50}}}
                    {
                        \TR{$S_2$}^{\dfrac{9}{50}}
                        \TR{$\overline{S_2}$}_{\dfrac{41}{50}}
                    }
                }
            \end{center}

\item $P(S_1\cap S_2)=P(S_1)\times P(S_2)=\dfrac{9}{50}\times\dfrac{9}{50}=\dfrac{81}{2500}$

\item L'évènement « le voyant s'allume une seule fois » correspond à $(S_1\cap\overline{S_2})\cup(\overline{S_1}\cap S_2)$. Ces deux évènements sont incompatibles donc :\\
            $P=P(S_1)\times P\left(\overline{S_2}\right)+P\left(\overline{S_1}\right)\times P(S_2)=\dfrac{9}{50}\times\dfrac{41}{50}+\dfrac{41}{50}\times\dfrac{9}{50}=2\times\dfrac{369}{2500}=\dfrac{738}{2500}$

\item L'évènement contraire de « le voyant s'allume au moins une fois » est « le voyant ne s'allume jamais » qui correspond à $\overline{S_1}\cap\overline{S_2}$. Ainsi :\\
            $P(\text{au moins une fois})=1-P\left(\overline{S_1}\cap\overline{S_2}\right)=1-\dfrac{41}{50}\times\dfrac{41}{50}=1-\dfrac{1681}{2500}=\dfrac{819}{2500}$
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

L'imprimante A produit un tiers des cartes donc $P(A)=\dfrac{1}{3}$ et $P(B)=\dfrac{2}{3}$. De plus $P_A(D)=\dfrac{1}{20}$ et $P_B(D)=\dfrac{3}{20}$. On en déduit l'arbre suivant :
\psset{nodesep=1mm, levelsep=20mm, treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tp} { \pstree{\TR{$A$}^{\dfrac{1}{3}}} { \TR{$D$}^{\dfrac{1}{20}} \TR{$\overline{D}$}_{\dfrac{19}{20}} } \pstree{\TR{$B$}_{\dfrac{2}{3}}} { \TR{$D$}^{\dfrac{3}{20}} \TR{$\overline{D}$}_{\dfrac{17}{20}} } }
$P(B\cap D)=P(B)\times P_B(D)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{20}=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$
$A$ et $B$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{60}+\dfrac{6}{60}=\dfrac{7}{60}$
Il s'agit de calculer $P_D(B)$.
$P_D(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{7}{60}}=\dfrac{1}{10}\times\dfrac{60}{7}=\dfrac{6}{7}$
Ainsi la probabilité qu'une carte mal imprimée provienne de l'imprimante B est de $\dfrac{6}{7}$.

Métadonnées

Identité

Titre

Niveau Statut

Type source Type tâche

Notes

Sources (1)

Année	Fichier	Barème
2025-2026	`DS\25-26\25-26-1spe-BB.tex`	8 pts