EX_0300 – Dans chacun des cas suivant,...

Énoncé

Dans chacun des cas suivant, résoudre dans $\R$ l'équation $f(x)=0$ et factoriser $f(x)$ lorsque c'est possible.

$f(x)=2x^2-2x-12$
$f(x)=-4x+2x^2+4$
$f(x)=2x^2+12x+18$

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
        \subsection*{Correction}
        \begin{enumerate}
            \item $\Delta = (-2)^2-4\times 2\times (-12) = 100 >0$. L'équation admet donc deux solutions : 
            \begin{flalign*}
                x_1 &= \dfrac{2-\sqrt{100}}{2\times 2} & x_2 &= \dfrac{2+\sqrt{100}}{2\times 2} &\\
                    &= \dfrac{-8}{4}                   &     &= \dfrac{12}{4}&\\
                    &= -2                               &     &= 3&\\
            \end{flalign*}
            $\mathscr{S}=\left\{-2;3\right\}$\\
            Ainsi $f(x)$ est factorisable et, d'après le cours, on a : $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=2(x+2)(x-3)$
            \item Ici $\Delta = (-4)^2-4\times2\times4=16-32=-16<0$. L'équation n'admet donc aucune solution, $\mathscr{S}=\emptyset$,  et $f(x)$ n'est pas factorisable.
            \item $\Delta = 12^2-4\times2\times18=144-144=0$. L'équation admet une unique solution (double) $x_0=-\dfrac{12}{2\times2}=-3$, $\mathscr{S}=\left\{-3\right\}$, et $f(x)$ se factorise en $f(x)=a\left(x-x_0\right)^2=2(x+3)^2$
        \end{enumerate}
        \end{varwidth}

Correction

$\Delta = (-2)^2-4\times 2\times (-12) = 100 >0$. L'équation admet donc deux solutions : \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{2-\sqrt{100}}{2\times 2} & x_2 &= \dfrac{2+\sqrt{100}}{2\times 2}\\= \dfrac{-8}{4} & &= \dfrac{12}{4}\\= -2 & &= 3\\ \end{aligned}\] $\mathscr{S}=\left\{-2;3\right\}$
Ainsi $f(x)$ est factorisable et, d'après le cours, on a : $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=2(x+2)(x-3)$
Ici $\Delta = (-4)^2-4\times2\times4=16-32=-16<0$. L'équation n'admet donc aucune solution, $\mathscr{S}=\emptyset$, et $f(x)$ n'est pas factorisable.
$\Delta = 12^2-4\times2\times18=144-144=0$. L'équation admet une unique solution (double) $x_0=-\dfrac{12}{2\times2}=-3$, $\mathscr{S}=\left\{-3\right\}$, et $f(x)$ se factorise en $f(x)=a\left(x-x_0\right)^2=2(x+3)^2$