Soient $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2(x-3)^2-8$ et $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \oij.

Partie A

1. Monter que $g(x)=2x^2-12x+10$
2. Monter que $g(x)=2(x-5)(x-1)$

Partie B

1. Quelles sont les coordonnées du sommet $S$ de $\mathscr{C}_g$ ?
2. Quels sont les antécédents de $10$ par $g$ ?
3. Déterminer (par le calcul) les coordonnées des points d'intersection de $\mathscr{C}_g$ avec les axes du repère.
4. Démontrer que pour tout $x\in\R : g(x)\geq -8$

Correction

Partie A

1. Il suffit de développer la forme canonique fournie par l'énoncé : $g(x)=2(x-3)^2-8=2(x^2-6x+9)-8=2x^2-12x+18-8=2x^2-12x+10$
2. Le plus simple consiste à développer la forme finale et de constater qu'elle est égale à la forme développée trouvée à la question précédente. Attention à la rédaction, on ne peut pas commencer par écrire $g(x)=2(x-5)(x-1)$ puisque c'est justement ce que l'on veut démontrer !

   $2(x-5)(x-1)=2(x^2-x-5x+5)=2(x^2-6x+5)=2x^2-12x+10=g(x)$

Partie B

1. Lorsque l'on connaît la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ les coordonnées du sommey $S$ de la parabole sont $(\alpha,\beta)$. Dans notre cas $S(3;-8)$
2. Pour déterminer les antécédents de $10$ par $g$, il faut résoudre l'équation $g(x)=10$. On remarque que le nombre $10$ est un terme dans la forme développée de $g$ il est donc judicieux de l'utiliser : \[\begin{aligned}&g(x) &= 10 &\\\Leftrightarrow &2x^2-12x+10 &= 10& &&\\\Leftrightarrow &2x^2-12x &= 0& &&\\\Leftrightarrow &2x(x-6) &= 0& &&\\\Leftrightarrow &2x &= 0&\text{ou }&&x-6 = 0\\\Leftrightarrow &x &= 0&\text{ou }&&x = 6\\ \end{aligned}\] Ainsi, les antécédents de $10$ par $g$ sont $0$ et $6$
4. On peut essayer de résoudre l'inéquation $g(x)\geq -8$. Le nombre $-8$ nous fait penser à la forme canonique ainsi $g(x)\geq-8 \Leftrightarrow2(x-3)^2-8\geq-8\Leftrightarrow2(x-3)^2\geq0\Leftrightarrow\underbrace{(x-3)^2}_{\text{carré toujours positif}}\geq0$ Ainsi l'inégalité est vraie pour tous les nombres réels.