On considère les fonctions $f$ et $g$, de courbes représentatives $\mathsrc{C}_f$ et $\mathsrc{C}_g$, définie sur $\R$ par : $f(x)=2x^2+2x-3$ et $g(x)=-x^2-x-3$
Déterminer la position relative des courbes $\mathsrc{C}_f$ et $\mathsrc{C}_g$

Correction

Il s'agit ici d'étudier le signe de $f(x)-g(x)=2x^2+2x-3-\left(-x^2-x-3\right)=2x^2+2x-3+x^2+x+3=3x^2+3x=3x(x+1)$. $f-g$ est une fonction polynôme du second degré que nous avons écrit sous forme factorisée. Nous savons donc qu'elle admet deux racines : $x_1=0$ et $x_2=-1$ et qu'elle est du signe de $a=3>0$ à l'extérieur de celles-ci. Ainsi :

$

$

Ainsi :

• $\mathsrc{C}_f$ est au-dessus de $\mathsrc{C}_g$ sur $]-\infty;-1[$ et sur $]0;+\infty[$
• $\mathsrc{C}_f$ est en dessous de $\mathsrc{C}_g$ sur $]-1;0[$
• Les deux courbe se coupent aux points d'abscisses $-1$ et $0$