Caroline effectue une passe de volley-ball à Souad.
La trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie par : $h(t)= -0,525t^2+2,1t+1,9$ où $h(t)$ est la hauteur du ballon par rapport au sol, exprimée en mètre, en fonction du temps $t$ en seconde.

1. Montrer que $h(t)=-0,525(t-2)^2+4$
2. À quelle hauteur Caroline commence-t-elle sa passe ?
3. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon ? Au bout de combien de temps ?
4. Pendant combien de temps le ballon dépasse-t-il les trois mètres de hauteur ?
5. Souad ne parvient pas à toucher le ballon. Combien de temps après le début de la passe ce dernier retombe-t-il au sol ?

Correction

1. $-0,525(t-2)^2+4=-0,525(t^2-4t+4)+4=-0,525t^2+2,1t-2,1+4=-0,525t^2+2,1t+1,9=h(t)$
2. Caroline commence sa passa à $t=0$ donc à la hauteur $h(0)=1,9$m
3. $h(t)=-0,525(t-2)^2+4$ est la forme canonique de cette fonction polynôme du second degré. Nous savons donc que le sommet de cette courbe a pour coordonnées $S(2,4)$ et que celui-ci correspond à un maximum car $a=-0,525 <0$.On en déduit que la hauteur maximale atteinte par la balle est de $4$m et que celle-ci est atteinte au bout de $2$s
4. On cherche à résoudre $h(t)\geq 3$ ce qui revient à $-0,525t^2+2,1t+1,9\geq 3$ soit encore $-0,525t^2+2,1t-1,1 \geq 0$
   Il faut donc dresser le tableau de signes de $-0,525t^2+2,1t-1,1$. On a : $\Delta = b^2-4ac=2,1^2-4\times(-0,525)\times(-1,1)=2,1>0$ donc ce polynôme admet deux racines distinctes :
   $t_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{42+2\sqrt{210}}{21}$ et $t_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{42-2\sqrt{210}}{21}$ à l'extérieur desquelles il est du signe de $a=-0,525 <0$. On en déduit :
   

   $

   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
   $
   

   On en déduit que les solutions de l'inéquation sont $\mathsrc{S}=\left[t_2;t_1\right]$ et donc que la balle reste au-dessus de $3$m de hauteur pendant $t_1-t_2=\dfrac{4\sqrt{210}}{21}\approx 2,76$s

5. On cherche cette fois à résoudre $h(t)=0$ or $\Delta = b^2-4ac=2,1^2-4\times(-0,525)\times1,9=8,4>0$ donc cette équation admet deux solutions :
   $t_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{42+4\sqrt{210}}{21}$ et $t_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{42-4\sqrt{210}}{21}$
   $t_2<0$ donc ne convient pas. On en déduit que la balle touche le sol au bout de $t_1\approx 4,76$s.