EX_0305 – Un logiciel de traitement de données...

Énoncé

\ifthenelse{\boolean{isProfVersion}}{}{ Un logiciel de traitement de données applique deux algorithmes distincts selon la taille du fichier à analyser. Le temps de traitement $ f(x) $, en minutes, pour un fichier de taille $ x $ Go est donné par :

\[ f(x) = \begin{cases} 0{,}8x + 5 & \text{si } 0 \leq x \leq 15 \\ 0{,}14x^2 - 7x + 90{,}5 & \text{si } x \geq 15 \end{cases} \]

Calculer $ f(10) $ et $ f(30) $.
Quel est le temps de traitement d’un fichier de 15 Go ?
Dresser le tableau de variations de $ f $ sur $[0~;~35]$.
En déduire le temps minimal de traitement d’un fichier et la taille d’un tel fichier.

}

Correction

\begin{varwidth}{0.9\textwidth}
\subsection*{Correction}
\begin{enumerate}
\item $10 \leq 15$ donc on utilise le premier algorithme :$ f(10) = 0{,}8 \times 10 + 5 = 13 $, \\
$30 \geq 15$ donc on utilise le deuxième algorithme :$ f(30) = 0{,}14 \times 30^2 - 7 \times 30 + 90{,}5 = 126 - 210 + 90{,}5 = 6{,}5 $
\item Pour les fichiers de $15$ Go , l'un ou l'autre des deux algorithme peut être utilisé.\\
Avec le premier :$ f(15) = 0{,}8 \times 15 + 5 = 17 $ minutes. \\
Avec le second : $ f(15)= 0,14\times15^2-7\times 15 +90,5 = 17$ minutes également.
\item La fonction $ f $ est composée de deux morceaux :
\begin{itemize}
\item Sur $[0~;~15]$, c’est une fonction affine strictement croissante.
\item Sur $[15~;~35]$, c’est une fonction polynôme du second degré de la forme $ f(x) = 0{,}14x^2 - 7x + 90{,}5 $. 
Comme $a=0,14>0$, elle atteint un minimum en $ x = \dfrac{7}{2 \times 0{,}14} = 25 $.
\item $ f(25) = 0{,}14 \times 625 - 175 + 90{,}5 = 87{,}5 - 175 + 90{,}5 = 3 $
\item $f(35)=0,14\times 35^2-7\times 30+90,5 = 17$
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tablvar}{3}
\hline
x & 0 && 15 && 25 && 35 \\
\hline
\variations{ \mil{f(x)} & \bas{5} && \haut{17} && \bas{3} && \haut{17} 
}
\hline
\end{tablvar}
\end{center}
\item Le temps minimal est $ 3 $ minutes, obtenu pour un fichier de $ 25 $ Go.
\end{enumerate}
\end{varwidth}

Correction

$10 \leq 15$ donc on utilise le premier algorithme :$ f(10) = 0{,}8 \times 10 + 5 = 13 $,
$30 \geq 15$ donc on utilise le deuxième algorithme :$ f(30) = 0{,}14 \times 30^2 - 7 \times 30 + 90{,}5 = 126 - 210 + 90{,}5 = 6{,}5 $
Pour les fichiers de $15$ Go , l'un ou l'autre des deux algorithme peut être utilisé.
Avec le premier :$ f(15) = 0{,}8 \times 15 + 5 = 17 $ minutes.
Avec le second : $ f(15)= 0,14\times15^2-7\times 15 +90,5 = 17$ minutes également.
La fonction $ f $ est composée de deux morceaux :
[ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
Le temps minimal est $ 3 $ minutes, obtenu pour un fichier de $ 25 $ Go.