1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$ et on note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
   On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.
   Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-2;+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-2;+\infty[$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-2;+\infty[$.
3. Donner le minimum de la fonction $f$ sur $]-2;+\infty[$ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $2$.

Correction

1. $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec $\sys{u = x^2+x-1}{v=x+2}$ donc $\sys{u'=2x+1}{v'=1}$ ainsi : \[\begin{aligned} f'(x) &=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}=\dfrac{(2x+1)(x+2)-1\times (x^2+x-1)}{(x+2)^2}\\=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\\ \end{aligned}\]
2. Le dénominateur de $f'(x)$ est positif car c'est un carré.

   Son numérateur est une fonction polynôme du second degré avec $a=1,\,b=4$ et $c=3$. Donc $\Delta = b^2-4ac=4^2-4\times 1\times3=4>0$. Ainsi celui-ci admet deux racines distinctes :
   \[\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4-\sqrt{4}}{2} &x_2 &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\= \dfrac{-6}{2} = -3 & &= \dfrac{-2}{2} = -1\\ \end{aligned}\] Le numérateur est du signe de $a=1>0$ à l'extérieur de ses racines, ainsi :

   [ Tableau de variations - non rendu en aperçu ]
3. Ainsi le minimum de $f$ sur $\left]-2;+\infty\right[$ est $-1$ qui est atteint pour $x=-1$
4. $T: y=f'(2)(x-2)+f(2)$ or $f'(2)=\dfrac{P(2)}{(2+2)^2}=\dfrac{2^2+4\times2+3}{16}=\dfrac{15}{16}$ et $f(2)=\dfrac{2^2+2-1}{2+2}=\dfrac{5}{4}$ donc $T:y=\dfrac{15}{16}(x-2)+\dfrac{5}{4}$ soit $T:y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{15}{8}+\dfrac{10}{8}$ d'où $T:y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{5}{8}$